Jak obliczyć objętość graniastosłupa?

Pomnóż pole podstawy przez wysokość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$. Dla prostopadłościanu oznacza to iloczyn trzech krawędzi, a dla sześcianu sześcian krawędzi. Jeśli podstawą jest trójkąt, trapez czy romb, najpierw policz pole tej figury, a potem pomnóż je przez wysokość bryły.

Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu?

Policz pola trzech różnych ścian, dodaj je i wynik pomnóż przez $2$: $P_c = 2(ab + bc + ac)$. Dla krawędzi $4$, $5$ i $6$ cm wychodzi $2(20 + 30 + 24) = 148$ cm². Mnożenie przez dwa bierze się stąd, że każda ściana ma naprzeciw siebie drugą, taką samą.

Czym różni się graniastosłup prosty od prawidłowego?

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, więc ściany boczne są prostokątami. Graniastosłup prawidłowy jest prosty i dodatkowo ma w podstawie wielokąt foremny, na przykład trójkąt równoboczny albo kwadrat. Każdy prawidłowy jest więc prosty, ale nie każdy prosty jest prawidłowy.

Ile krawędzi ma graniastosłup?

Jeśli podstawą jest $n$-kąt, graniastosłup ma $3n$ krawędzi: po $n$ w każdej z dwóch podstaw i $n$ krawędzi bocznych. Wierzchołków ma $2n$, a ścian $n + 2$. Prostopadłościan, czyli graniastosłup czworokątny, ma więc $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków i $6$ ścian.

Ile litrów mieści się w decymetrze sześciennym?

Dokładnie jeden: $1\ \mathrm{dm}^3 = 1$ l. Ponieważ $1$ dm to $10$ cm, w decymetrze sześciennym mieści się $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ cm³, a $1$ cm³ to $1$ ml. Metr sześcienny to $1000$ litrów. W zadaniach o akwariach i basenach najwygodniej od razu przeliczyć wymiary na decymetry.

Czy na egzaminie ósmoklasisty są wzory albo kalkulator?

Nie. Według komunikatu CKE na egzamin ósmoklasisty z matematyki zabierasz tylko długopis i linijkę, nie dostajesz karty wzorów, a kalkulator ma jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Wzory na objętość i pole graniastosłupa musisz znać na pamięć. Na maturze kalkulator prosty i broszura z wzorami są obowiązkowe.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Graniastosłupy — objętość i pole powierzchni

Prostopadłościan, sześcian, graniastosłup o podstawie trójkąta czy sześciokąta: każdy z nich liczysz tymi samymi dwoma wzorami. Objętość to pole podstawy razy wysokość, a pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian. Na tej stronie nauczysz się rozpoznawać podstawę i wysokość, liczyć objętość, pole powierzchni i liczbę krawędzi oraz zamieniać centymetry sześcienne na litry. Są tu przykłady, prawdziwe zadania z egzaminu ósmoklasisty i z matury oraz zadania do samodzielnego sprawdzenia.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026; na maturze podstawowej: w 3 z 4, zwykle z trygonometrią albo przekątną bryły.

kl. IV–VI
kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy (wielokąty) i ściany boczne, które są równoległobokami. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, a każda krawędź boczna jest wysokością $H$ bryły.
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny. Prostopadłościan ma wszystkie ściany prostokątne, a sześcian wszystkie krawędzie równe.
Objętość każdego graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$ , czyli pole podstawy razy wysokość. Dla prostopadłościanu o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ : $V = abc$ , a dla sześcianu o krawędzi $a$ : $V = a^3$ .
Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy i ściany boczne: $P_c = 2P_p + P_b$ . W graniastosłupie prostym $P_b = O_p \cdot H$ , gdzie $O_p$ to obwód podstawy. Prostopadłościan: $P_c = 2(ab + bc + ac)$ , sześcian: $P_c = 6a^2$ .
Graniastosłup, którego podstawą jest $n$ -kąt, ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n + 2$ ściany. Sześciokątny ma więc $12$ wierzchołków, $18$ krawędzi i $8$ ścian.
Jednostki: pole w cm², objętość w cm³. Pamiętaj, że $1\ \mathrm{dm}^3$ to $1$ litr, $1\ \mathrm{cm}^3$ to $1$ mililitr, a $1\ \mathrm{m}^3$ to $1000$ litrów.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Rozpoznaj podstawę i wysokość
Podstawy to dwie przystające ściany leżące naprzeciw siebie, a wysokość to odległość między nimi. Uwaga: podstawa nie musi leżeć na dole rysunku. W graniastosłupie o podstawie trójkąta trójkąty są podstawami nawet wtedy, gdy bryła leży na boku.
2.Oblicz pole podstawy
Użyj wzoru na pole właściwego wielokąta: prostokąta, trójkąta, trapezu, rombu. Jeśli brakuje boku lub wysokości podstawy, znajdź go najpierw, często z twierdzenia Pitagorasa.
3.Policz objętość
Pomnóż pole podstawy przez wysokość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$ . Wszystkie długości muszą być w tej samej jednostce, zanim zaczniesz mnożyć.
4.Policz pole powierzchni
Dodaj pola dwóch podstaw i wszystkich ścian bocznych. W graniastosłupie prostym ściany boczne razem tworzą prostokąt o bokach równych obwodowi podstawy i wysokości bryły, więc $P_b = O_p \cdot H$ .
5.Sprawdź jednostki i sens
Pole podaj w jednostkach kwadratowych, objętość w sześciennych. Jeśli pytanie jest o litry, zamień: $1\ \mathrm{dm}^3 = 1$ l, a $1000\ \mathrm{cm}^3 ={}$ $1$ l. Zastanów się, czy wynik ma sens dla takiej bryły.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Objętość i pole prostopadłościanu
Prostopadłościan ma krawędzie długości $4$ cm, $5$ cm i $6$ cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
2.Graniastosłup o podstawie trójkąta prostokątnego
Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ cm i $4$ cm. Wysokość graniastosłupa jest równa $10$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
3.Litry i wysokość wody
Do pojemnika w kształcie prostopadłościanu o dnie $40$ cm na $25$ cm wlano $12$ litrów wody. Oblicz, do jakiej wysokości sięga woda.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2026, zadanie 14

Zadanie 14. (0–1)

Trzy jednakowe sześciany o krawędzi długości

5

ustawiono jeden na drugim i otrzymano prostopadłościan (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2026, arkusz OMAP-100-2605, zadanie 14 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym graniastosłup wraca z trygonometrią. Podstawa programowa liceum wymaga, żebyś rozpoznawał w graniastosłupie kąty między odcinkami i kąty między ścianami (X.3), liczył objętości i pola także z użyciem trygonometrii (X.5) oraz korzystał z tego, że objętości brył podobnych mają się do siebie jak sześcian skali (X.6).

Przydają się przekątne: przekątna prostopadłościanu o krawędziach

a

b

c

ma długość

\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

, a przekątna sześcianu

a\sqrt{3}

. Przykład: w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość

3

, a przekątna bryły tworzy z podstawą kąt

60^\circ

. Przekątna podstawy to

3\sqrt{2}

, więc wysokość

H ={}

3\sqrt{2} \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} ={}

3\sqrt{6}

, a objętość

V ={}

3^2 \cdot 3\sqrt{6} ={}

27\sqrt{6}

Bryły podobne: jeśli każda krawędź jest

k

razy dłuższa, pole powierzchni rośnie

k^2

razy, a objętość

k^3

razy. Sześcian o krawędzi dwa razy dłuższej ma więc cztery razy większe pole i osiem razy większą objętość.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2025, zadanie 26

Zadanie 26. (0–1)

Objętość sześcianu jest równa

729

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2025, arkusz MMAP-P0-100-2505, zadanie 26 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan i podano długości jego krawędzi. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

cm²

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny. Przyprostokątne podstawy mają długości 5 cm i 2 cm, a wysokość graniastosłupa jest równa 5 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

cm³

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Prostopadłościan ma wymiary 7 cm, 9 cm i 11 cm. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

cm³

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan o krawędziach długości 1, 4 i 8. Oblicz długość przekątnej

d

tego prostopadłościanu.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

egzamin ósmoklasisty(0–3 pkt)

Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma długość 8 dm, szerokość 4 dm i wysokość 6 dm. Wodę nalano do

\frac{2}{3}

wysokości akwarium. Oblicz, ile litrów wody jest w akwarium. Zapisz obliczenia.

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Branie za podstawę ściany, która leży na dole rysunku. W graniastosłupie trójkątnym leżącym na boku podstawami są dwa trójkąty, a wysokością bryły jest krawędź łącząca te trójkąty.
Liczenie pola powierzchni prostopadłościanu tylko z trzech ścian: $ab + bc + ac$ . Każda ściana ma swoją parę po przeciwnej stronie, więc sumę trzeba pomnożyć przez 2.
Zapomnienie o drugiej podstawie: $P_c = 2P_p + P_b$ , a nie $P_p + P_b$ . Jedną podstawę ma ostrosłup, graniastosłup ma dwie.
Mieszanie jednostek: mnożenie centymetrów przez decymetry albo podanie objętości w cm². Zamień wszystkie długości na jedną jednostkę, zanim zaczniesz liczyć.
Błędna zamiana na litry. Litr to decymetr sześcienny, czyli $1000$ cm³, a nie $100$ cm³. Najprościej od razu liczyć w decymetrach: wtedy wynik w dm³ to od razu liczba litrów.

Do zapamiętania

Objętość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$ .
Pole powierzchni: $P_c = 2P_p + P_b$ ; w graniastosłupie prostym $P_b = O_p \cdot H$ .
Prostopadłościan: $V = abc$ , $P_c = 2(ab + bc + ac)$ .
Sześcian: $V = a^3$ , $P_c = 6a^2$ .
Graniastosłup $n$ -kątny: $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi, $n + 2$ ściany.
$1\ \mathrm{dm}^3 = 1$ l $= 1000\ \mathrm{cm}^3$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Stereometria§ 12 · strona 26–28

Graniastosłupy są w części 12, «Stereometria». Na stronie 26 broszury jest prostopadłościan: pole powierzchni całkowitej

P_c = 2(ab + bc + ca)

i objętość

V = abc

. Na stronie 27 jest graniastosłup prosty: pole boczne jako obwód podstawy razy wysokość i objętość jako pole podstawy razy wysokość.

Wzoru na przekątną prostopadłościanu w broszurze nie ma, trzeba go wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa. Na egzaminie ósmoklasisty nie dostajesz żadnej karty wzorów, więc wzorów z tej strony naucz się na pamięć.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć objętość graniastosłupa?+
Odp.:Pomnóż pole podstawy przez wysokość graniastosłupa: $V = P_p \cdot H$ . Dla prostopadłościanu oznacza to iloczyn trzech krawędzi, a dla sześcianu sześcian krawędzi. Jeśli podstawą jest trójkąt, trapez czy romb, najpierw policz pole tej figury, a potem pomnóż je przez wysokość bryły.
2.Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu?+
Odp.:Policz pola trzech różnych ścian, dodaj je i wynik pomnóż przez $2$ : $P_c = 2(ab + bc + ac)$ . Dla krawędzi $4$ , $5$ i $6$ cm wychodzi $2(20 + 30 + 24) = 148$ cm². Mnożenie przez dwa bierze się stąd, że każda ściana ma naprzeciw siebie drugą, taką samą.
3.Czym różni się graniastosłup prosty od prawidłowego?+
Odp.:W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, więc ściany boczne są prostokątami. Graniastosłup prawidłowy jest prosty i dodatkowo ma w podstawie wielokąt foremny, na przykład trójkąt równoboczny albo kwadrat. Każdy prawidłowy jest więc prosty, ale nie każdy prosty jest prawidłowy.
4.Ile krawędzi ma graniastosłup?+
Odp.:Jeśli podstawą jest $n$ -kąt, graniastosłup ma $3n$ krawędzi: po $n$ w każdej z dwóch podstaw i $n$ krawędzi bocznych. Wierzchołków ma $2n$ , a ścian $n + 2$ . Prostopadłościan, czyli graniastosłup czworokątny, ma więc $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków i $6$ ścian.
5.Ile litrów mieści się w decymetrze sześciennym?+
Odp.:Dokładnie jeden: $1\ \mathrm{dm}^3 = 1$ l. Ponieważ $1$ dm to $10$ cm, w decymetrze sześciennym mieści się $10 \cdot 10 \cdot 10 ={}$ $1000$ cm³, a $1$ cm³ to $1$ ml. Metr sześcienny to $1000$ litrów. W zadaniach o akwariach i basenach najwygodniej od razu przeliczyć wymiary na decymetry.
6.Czy na egzaminie ósmoklasisty są wzory albo kalkulator?+
Odp.:Nie. Według komunikatu CKE na egzamin ósmoklasisty z matematyki zabierasz tylko długopis i linijkę, nie dostajesz karty wzorów, a kalkulator ma jedynie uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. Wzory na objętość i pole graniastosłupa musisz znać na pamięć. Na maturze kalkulator prosty i broszura z wzorami są obowiązkowe.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Graniastosłupy — objętość i pole powierzchni

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Rozpoznaj podstawę i wysokość

2.Oblicz pole podstawy

3.Policz objętość

4.Policz pole powierzchni

5.Sprawdź jednostki i sens

Przykłady

1.Objętość i pole prostopadłościanu

2.Graniastosłup o podstawie trójkąta prostokątnego

3.Litry i wysokość wody

Zadanie z egzaminu

Na maturze

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła