Jak obliczyć objętość walca?

Pomnóż pole podstawy, czyli koła, przez wysokość: $V = \pi r^2 h$. Dla promienia $3$ cm i wysokości $5$ cm wychodzi $\pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$ cm³. Jeśli zadanie podaje średnicę, najpierw podziel ją przez dwa. Wynik zostaw z $\pi$, chyba że treść prosi o przybliżenie.

Jak obliczyć pole powierzchni stożka?

Dodaj pole podstawy $\pi r^2$ i pole boczne $\pi r l$, gdzie $l$ to tworząca: $P_c = \pi r(r + l)$. Jeśli znasz tylko promień i wysokość, tworzącą policz z twierdzenia Pitagorasa: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$. Dla $r = 5$ i $h = 12$ tworząca ma długość $13$, a pole całkowite wynosi $90\pi$.

Jaki jest wzór na objętość i pole kuli?

Objętość kuli o promieniu $r$ to $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, a pole jej powierzchni $P = 4\pi r^2$. Oba wzory są w broszurze CKE na maturę. Zauważ, że w objętości promień jest w trzeciej potędze, a w polu w drugiej: kula o dwa razy większym promieniu ma osiem razy większą objętość i cztery razy większe pole.

Co to jest tworząca i kąt rozwarcia stożka?

Tworząca to odcinek łączący wierzchołek stożka z dowolnym punktem okręgu podstawy. Kąt rozwarcia to kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w przekroju osiowym, czyli kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, który powstaje po przecięciu stożka wzdłuż osi. Wysokość dzieli ten kąt na połowy.

Czy walec, stożek i kula są na egzaminie ósmoklasisty?

Tylko w małym zakresie. Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga, żeby uczeń rozpoznawał walce, stożki i kule wśród innych brył (klasy IV–VI, X.1), ale nie wymaga liczenia ich objętości ani pól. Obliczenia na tych bryłach pojawiają się dopiero na maturze, w zakresie podstawowym.

Czy w wyniku zostawiać liczbę pi?

Tak, jeśli zadanie nie mówi inaczej. Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych są zwykle zapisane z $\pi$, na przykład $24\pi$, więc przybliżenie utrudniłoby porównanie, a w zasadach oceniania matury 2025 poprawny wynik zadania o stożku to $V = 64\pi$. Przybliżenie podaj tylko wtedy, gdy treść tego wymaga, na przykład przy pytaniu o liczbę litrów wody w zbiorniku.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Walec, stożek i kula — objętość i pole powierzchni

Walec, stożek i kula to bryły obrotowe: powstają z obrotu prostokąta, trójkąta prostokątnego i półkola. Na maturze podstawowej liczysz ich objętości i pola powierzchni, a w stożku także tworzącą i kąty. Na tej stronie znajdziesz wszystkie wzory, metodę krok po kroku, przykłady z wynikami w postaci z $\pi$ , zadanie z matury CKE i zadania do samodzielnego sprawdzenia.

Na maturze podstawowej: w 2 z 4 arkuszy 2023–2026, w latach 2025 i 2026, raz jako zadanie zamknięte, raz jako otwarte.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Walec powstaje z obrotu prostokąta wokół jego boku. Ma dwie podstawy, koła o promieniu $r$ , a jego wysokość $h$ jest równa tworzącej. Wzory: $V = \pi r^2 h$ , $P_b = 2\pi r h$ , $P_c ={}$ $2\pi r^2 + 2\pi r h ={}$ $2\pi r(r + h)$ .
Stożek powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej. Promień podstawy $r$ , wysokość $h$ i tworząca $l$ tworzą trójkąt prostokątny: $r^2 + h^2 = l^2$ . Wzory: $V ={}$ $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ , $P_b = \pi r l$ , $P_c = \pi r(r + l)$ .
Kula powstaje z obrotu półkola wokół średnicy. Dla kuli o promieniu $r$ : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , a pole powierzchni, czyli sfery, $P = 4\pi r^2$ .
Przekrój osiowy to przekrój płaszczyzną zawierającą oś bryły. Dla walca jest to prostokąt $2r \times h$ , dla stożka trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i ramionach $l$ . Kąt rozwarcia stożka to kąt między ramionami tego trójkąta.
Stożek ma trzy razy mniejszą objętość niż walec o tej samej podstawie i tej samej wysokości, tak jak ostrosłup i graniastosłup.
Wynik zostaw z liczbą $\pi$ , na przykład $45\pi$ . Przybliżenie, najczęściej $\pi \approx 3{,}14$ , podawaj tylko wtedy, gdy zadanie o to prosi.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Rozpoznaj bryłę i wypisz dane
Zapisz, co znasz: promień $r$ , wysokość $h$ , tworzącą $l$ , kąt. Uważaj na średnicę: jeśli zadanie podaje średnicę, promień jest dwa razy krótszy.
2.Znajdź brakujący wymiar
Narysuj przekrój osiowy. W stożku $r$ , $h$ i $l$ tworzą trójkąt prostokątny, więc brakujący odcinek policzysz z twierdzenia Pitagorasa albo, gdy znasz kąt, z sinusa, cosinusa lub tangensa.
3.Podstaw do właściwego wzoru
Objętość walca i stożka zawiera $r^2$ i wysokość $h$ , a pole boczne stożka tworzącą $l$ , nie wysokość. Do pola całkowitego dolicz podstawy: walec ma dwie, stożek jedną, kula żadnej.
4.Uprość i zostaw pi
Wymnóż liczby i zostaw $\pi$ w wyniku. Pierwiastki uprość: $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ . Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych są zwykle zapisane właśnie w takiej postaci.
5.Sprawdź
Sprawdź jednostki: pole w jednostkach kwadratowych, objętość w sześciennych. Sprawdź też, czy tworząca stożka wyszła dłuższa od jego wysokości i od promienia.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Objętość i pole walca
Walec ma promień podstawy $3$ cm i wysokość $5$ cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
2.Stożek: najpierw tworząca
Stożek ma promień podstawy $5$ cm i wysokość $12$ cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
3.Kula: od objętości do pola
Objętość kuli jest równa $36\pi$ . Oblicz pole powierzchni tej kuli.
4.Stożek z kątem rozwarcia
Tworząca stożka ma długość $6$ , a kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$ . Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 28

Zadanie 28. (0–1)

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 28 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Promień podstawy walca ma długość 2, a wysokość walca jest równa 4. Objętość tego walca jest równa

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 2. (0–1)

Na rysunku przedstawiono walec o promieniu podstawy 4 i wysokości 3. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Stożek ma promień podstawy

6

cm i tworzącą długości

10

cm. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Objętość stożka jest równa

80\pi

cm³, a promień jego podstawy ma długość

4

cm. Oblicz wysokość tego stożka. Wynik podaj w centymetrach.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Wstawienie wysokości stożka zamiast tworzącej do wzoru na pole boczne. Pole boczne stożka to $\pi r l$ , a $l$ jest dłuższa niż $h$ . Jeśli znasz $r$ i $h$ , policz najpierw $l$ z twierdzenia Pitagorasa.
Wzięcie średnicy za promień. Jeśli zadanie podaje średnicę $10$ , to $r = 5$ , a pole podstawy wynosi $25\pi$ , a nie $100\pi$ .
Podwojenie promienia bez podniesienia do kwadratu. Gdy promień rośnie dwa razy, pole podstawy i objętość walca rosną cztery razy, bo we wzorze stoi $r^2$ .
Zapomnienie o czynniku $\frac{1}{3}$ w objętości stożka albo o $\frac{4}{3}$ w objętości kuli. Bez nich wynik wychodzi kilka razy za duży.
Liczenie pola całkowitego walca z jedną podstawą. Walec ma dwie podstawy, więc $P_c ={}$ $2\pi r^2 + 2\pi r h$ . Jedną podstawę ma tylko stożek.

Do zapamiętania

Walec: $V = \pi r^2 h$ , $P_c = 2\pi r(r + h)$ .
Stożek: $V ={}$ $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ , $P_c = \pi r(r + l)$ .
Stożek: $r^2 + h^2 = l^2$ .
Kula: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , $P = 4\pi r^2$ .
Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym.
Wynik zostaw z $\pi$ , chyba że zadanie prosi o przybliżenie.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Stereometria§ 12 · strona 26–28

Walec i stożek są na stronie 27 broszury, w części 12, «Stereometria»: dla każdego z nich pole boczne, pole całkowite i objętość, z rysunkiem, na którym zaznaczono promień, wysokość i (przy stożku) tworzącą.

Wzory na kulę są na górze strony 28 broszury, tuż przed częścią o kombinatoryce. W broszurze nie ma natomiast wzoru

r^2 + h^2 = l^2

: to twierdzenie Pitagorasa w przekroju osiowym stożka i trzeba je zauważyć samemu.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć objętość walca?+
Odp.:Pomnóż pole podstawy, czyli koła, przez wysokość: $V = \pi r^2 h$ . Dla promienia $3$ cm i wysokości $5$ cm wychodzi $\pi \cdot 9 \cdot 5 ={}$ $45\pi$ cm³. Jeśli zadanie podaje średnicę, najpierw podziel ją przez dwa. Wynik zostaw z $\pi$ , chyba że treść prosi o przybliżenie.
2.Jak obliczyć pole powierzchni stożka?+
Odp.:Dodaj pole podstawy $\pi r^2$ i pole boczne $\pi r l$ , gdzie $l$ to tworząca: $P_c = \pi r(r + l)$ . Jeśli znasz tylko promień i wysokość, tworzącą policz z twierdzenia Pitagorasa: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ . Dla $r = 5$ i $h = 12$ tworząca ma długość $13$ , a pole całkowite wynosi $90\pi$ .
3.Jaki jest wzór na objętość i pole kuli?+
Odp.:Objętość kuli o promieniu $r$ to $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , a pole jej powierzchni $P = 4\pi r^2$ . Oba wzory są w broszurze CKE na maturę. Zauważ, że w objętości promień jest w trzeciej potędze, a w polu w drugiej: kula o dwa razy większym promieniu ma osiem razy większą objętość i cztery razy większe pole.
4.Co to jest tworząca i kąt rozwarcia stożka?+
Odp.:Tworząca to odcinek łączący wierzchołek stożka z dowolnym punktem okręgu podstawy. Kąt rozwarcia to kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w przekroju osiowym, czyli kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, który powstaje po przecięciu stożka wzdłuż osi. Wysokość dzieli ten kąt na połowy.
5.Czy walec, stożek i kula są na egzaminie ósmoklasisty?+
Odp.:Tylko w małym zakresie. Podstawa programowa szkoły podstawowej wymaga, żeby uczeń rozpoznawał walce, stożki i kule wśród innych brył (klasy IV–VI, X.1), ale nie wymaga liczenia ich objętości ani pól. Obliczenia na tych bryłach pojawiają się dopiero na maturze, w zakresie podstawowym.
6.Czy w wyniku zostawiać liczbę pi?+
Odp.:Tak, jeśli zadanie nie mówi inaczej. Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych są zwykle zapisane z $\pi$ , na przykład $24\pi$ , więc przybliżenie utrudniłoby porównanie, a w zasadach oceniania matury 2025 poprawny wynik zadania o stożku to $V = 64\pi$ . Przybliżenie podaj tylko wtedy, gdy treść tego wymaga, na przykład przy pytaniu o liczbę litrów wody w zbiorniku.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Walec, stożek i kula — objętość i pole powierzchni

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Rozpoznaj bryłę i wypisz dane

2.Znajdź brakujący wymiar

3.Podstaw do właściwego wzoru

4.Uprość i zostaw pi

5.Sprawdź

Przykłady

1.Objętość i pole walca

2.Stożek: najpierw tworząca

3.Kula: od objętości do pola

4.Stożek z kątem rozwarcia