Jak obliczyć objętość ostrosłupa?

Pomnóż pole podstawy przez wysokość ostrosłupa i podziel przez trzy: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $6$ cm i wysokości $4$ cm wychodzi $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$ cm³. Uważaj, żeby do wzoru wstawić wysokość ostrosłupa, a nie wysokość ściany bocznej.

Czym różni się wysokość ostrosłupa od wysokości ściany bocznej?

Wysokość ostrosłupa $H$ biegnie z wierzchołka prostopadle do podstawy, w środku bryły. Wysokość ściany bocznej $h$ leży na ścianie: to wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka na krawędź podstawy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$, więc $h$ jest zawsze dłuższa od $H$.

Jak obliczyć pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego?

Dodaj pole kwadratu w podstawie i pola czterech jednakowych trójkątów: $P_c = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} a h$. Dla $a = 10$ cm i $h = 13$ cm wychodzi $100 + 260 = 360$ cm². Jeśli zadanie podaje wysokość ostrosłupa zamiast wysokości ściany, najpierw policz $h$ z twierdzenia Pitagorasa.

Dlaczego we wzorze na objętość ostrosłupa jest jedna trzecia?

Bo ostrosłup zajmuje dokładnie trzecią część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Widać to na sześcianie: da się go podzielić na trzy jednakowe ostrosłupy o wspólnym wierzchołku w jednym rogu sześcianu, z których każdy ma za podstawę jedną z trzech ścian sześcianu niezawierających tego rogu. Na egzaminie wystarczy pamiętać wzór.

Ile krawędzi i wierzchołków ma ostrosłup?

Jeśli podstawą jest $n$-kąt, ostrosłup ma $n + 1$ wierzchołków ($n$ w podstawie i wierzchołek $S$), $2n$ krawędzi ($n$ w podstawie i $n$ bocznych) oraz $n + 1$ ścian. Ostrosłup czworokątny ma więc $5$ wierzchołków, $8$ krawędzi i $5$ ścian.

Czy ostrosłupy są na maturze podstawowej?

Tak. W latach 2023–2026 ostrosłup pojawił się w trzech z czterech arkuszy matury podstawowej: w 2023 i 2026 roku jako zadanie otwarte z kątem nachylenia, a w 2024 roku jako zadanie o ostrosłupach podobnych. Na maturze dochodzi więc trygonometria: kąt nachylenia krawędzi bocznej albo ściany bocznej do podstawy. Przydaje się też broszura z wzorami i kalkulator prosty, które na maturze są obowiązkowe.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Ostrosłupy — objętość i pole powierzchni

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne, które są trójkątami zbiegającymi się w wierzchołku. Jego objętość to trzecia część objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Na tej stronie nauczysz się odróżniać wysokość ostrosłupa od wysokości ściany bocznej, znajdować brakujący odcinek z twierdzenia Pitagorasa i liczyć objętość oraz pole powierzchni. Są tu przykłady, zadania z egzaminu ósmoklasisty i z matury oraz zadania do samodzielnego sprawdzenia.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026; na maturze podstawowej: w 3 z 4, zwykle jako zadanie otwarte z kątem nachylenia.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Ostrosłup ma jedną podstawę (wielokąt) i ściany boczne, które są trójkątami o wspólnym wierzchołku $S$ . Wysokość ostrosłupa $H$ to odcinek poprowadzony z wierzchołka $S$ prostopadle do podstawy.
Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek jego wysokości leży w środku podstawy. Wszystkie ściany boczne są wtedy przystającymi trójkątami równoramiennymi, a ich wysokość $h$ nazywamy wysokością ściany bocznej. To inny odcinek niż $H$ .
Objętość: $V ={}$ $\frac{1}{3} P_p \cdot H$ . Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości.
Pole powierzchni całkowitej: $P_c = P_p + P_b$ , czyli jedna podstawa i ściany boczne. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $a$ : $P_b ={}$ $4 \cdot \frac{1}{2} a h ={}$ $2ah$ .
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość $H$ , połowa krawędzi podstawy $\frac{a}{2}$ i wysokość ściany bocznej $h$ tworzą trójkąt prostokątny: $H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2$ . Z tej równości liczysz brakujący odcinek.
Ostrosłup, którego podstawą jest $n$ -kąt, ma $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n + 1$ ścian. Pięciokątny ma więc $6$ wierzchołków, $10$ krawędzi i $6$ ścian.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Narysuj i oznacz
Narysuj ostrosłup, zaznacz wierzchołek $S$ , wysokość $H$ i jej spodek $O$ . W ostrosłupie prawidłowym $O$ jest środkiem podstawy. Jeśli zadanie mówi o ścianie bocznej, dorysuj też jej wysokość $h$ .
2.Oblicz pole podstawy
Podstawa to zwykła figura płaska: kwadrat, prostokąt, trójkąt. Użyj właściwego wzoru na pole. Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ pole to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
3.Znajdź brakujący odcinek
Jeśli brakuje $H$ albo $h$ , znajdź trójkąt prostokątny wewnątrz bryły i zastosuj twierdzenie Pitagorasa. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym są to: $H$ , połowa krawędzi podstawy i $h$ .
4.Policz objętość i pole
Objętość: $V ={}$ $\frac{1}{3} P_p \cdot H$ . Pole: dodaj pole podstawy i pola wszystkich ścian bocznych; ściana boczna ma pole $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .
5.Sprawdź
Sprawdź, czy nie zapomniałeś czynnika $\frac{1}{3}$ i czy do objętości wziąłeś $H$ , a do pola ściany $h$ . W ostrosłupie prawidłowym wysokość ściany bocznej jest zawsze dłuższa niż wysokość bryły.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Z wysokości bryły do wysokości ściany
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ cm i wysokość $4$ cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.
2.Z wysokości ściany do wysokości bryły
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $10$ cm, a wysokość ściany bocznej $13$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
3.Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku $6$ cm. Wysokość ostrosłupa jest równa $4$ cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2026, zadanie 18

Zadanie 18. (0–2 pkt)

Dany jest sześcian

ABCDEFGH

o krawędzi długości

a

. Punkt

S

jest środkiem krawędzi

DH

tego sześcianu. Punkty

A

C

D

S

są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek). Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa

ACDS

jest mniejsza od objętości sześcianu

ABCDEFGH

. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2026, arkusz OMAP-100-2605, zadanie 18 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym ostrosłup wraca z trygonometrią. Podstawa programowa liceum wymaga, żebyś rozpoznawał w ostrosłupie kąty między odcinkami i kąty między ścianami (X.3), liczył objętości i pola także z użyciem trygonometrii (X.5) i korzystał z zależności między objętościami brył podobnych (X.6).

Najczęściej pojawiają się dwa kąty. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy leży w trójkącie z wysokością

H

, wysokością ściany

h

i odcinkiem od środka podstawy do środka krawędzi. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy leży w trójkącie z wysokością

H

, krawędzią boczną i połową przekątnej podstawy. Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy

6

i wysokości

4

tangens pierwszego kąta to

\frac{4}{3}

, a drugiego

\frac{4}{3\sqrt{2}} ={}

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Bryły podobne w skali

k

mają pola powierzchni w stosunku

k^2

, a objętości w stosunku

k^3

. Jeśli objętość jednego ostrosłupa jest

8

razy większa od objętości drugiego, to skala wynosi

2

, a pola różnią się

4

razy.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 27

Zadanie 27. (0–2 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość

8\sqrt{3}

. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

30^\circ

. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 27 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ma długość 5 cm, a jego wysokość

H

jest równa 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

cm³

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości

12

cm, a wysokość jego ściany bocznej jest równa

10

cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Wynik podaj w centymetrach kwadratowych.

cm²

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Ostrosłup i graniastosłup mają taką samą podstawę i taką samą wysokość. Objętość ostrosłupa jest równa

20

cm³. Objętość graniastosłupa jest równa

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ten ostrosłup ma

7

wierzchołków.

Ten ostrosłup ma

18

krawędzi.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Pomylenie wysokości ostrosłupa $H$ z wysokością ściany bocznej $h$ . Do objętości bierzesz $H$ , do pola ściany bocznej $h$ . Gdy znasz tylko jedną z nich, drugą policz z twierdzenia Pitagorasa.
Zapomnienie o czynniku $\frac{1}{3}$ we wzorze na objętość. Bez niego liczysz objętość graniastosłupa, a wynik wychodzi trzy razy za duży.
Branie w trójkącie prostokątnym całej krawędzi podstawy zamiast jej połowy. Odcinek od środka kwadratu do środka boku ma długość $\frac{a}{2}$ , a nie $a$ .
Liczenie dwóch podstaw jak w graniastosłupie. Ostrosłup ma jedną podstawę: $P_c = P_p + P_b$ .
W zadaniu na literach podstawienie konkretnej liczby za długość krawędzi. Jeśli treść podaje krawędź jako $a$ , licz na literze: w zadaniu 18 z egzaminu ósmoklasisty 2026 obliczenia wyłącznie na konkretnych liczbach dawały $0$ punktów.

Do zapamiętania

Objętość ostrosłupa: $V ={}$ $\frac{1}{3} P_p \cdot H$ .
Pole powierzchni: $P_c = P_p + P_b$ , podstawa jest jedna.
Prawidłowy czworokątny: $H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h^2$ .
Ściana boczna o podstawie $a$ i wysokości $h$ ma pole $\frac{1}{2} a h$ .
Ostrosłup $n$ -kątny: $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi, $n + 1$ ścian.
Ta sama podstawa i wysokość: ostrosłup to $\frac{1}{3}$ graniastosłupa.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Stereometria§ 12 · strona 26–28

Wzór na objętość ostrosłupa,

V ={}

\frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h

, jest na stronie 27 broszury, w części 12, «Stereometria», z rysunkiem ostrosłupa i jego wysokości. Pola powierzchni ostrosłupa broszura nie podaje: liczysz je jako sumę pól podstawy i ścian bocznych.

Funkcje trygonometryczne, potrzebne do kątów nachylenia, są w osobnej części broszury, a wartości dla kątów

30^\circ

45^\circ

60^\circ

warto znać na pamięć. Na egzaminie ósmoklasisty żadnej karty wzorów nie dostajesz.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć objętość ostrosłupa?+
Odp.:Pomnóż pole podstawy przez wysokość ostrosłupa i podziel przez trzy: $V ={}$ $\frac{1}{3} P_p \cdot H$ . Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $6$ cm i wysokości $4$ cm wychodzi $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 ={}$ $48$ cm³. Uważaj, żeby do wzoru wstawić wysokość ostrosłupa, a nie wysokość ściany bocznej.
2.Czym różni się wysokość ostrosłupa od wysokości ściany bocznej?+
Odp.:Wysokość ostrosłupa $H$ biegnie z wierzchołka prostopadle do podstawy, w środku bryły. Wysokość ściany bocznej $h$ leży na ścianie: to wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka na krawędź podstawy. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ , więc $h$ jest zawsze dłuższa od $H$ .
3.Jak obliczyć pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego?+
Odp.:Dodaj pole kwadratu w podstawie i pola czterech jednakowych trójkątów: $P_c ={}$ $a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} a h$ . Dla $a = 10$ cm i $h = 13$ cm wychodzi $100 + 260 = 360$ cm². Jeśli zadanie podaje wysokość ostrosłupa zamiast wysokości ściany, najpierw policz $h$ z twierdzenia Pitagorasa.
4.Dlaczego we wzorze na objętość ostrosłupa jest jedna trzecia?+
Odp.:Bo ostrosłup zajmuje dokładnie trzecią część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Widać to na sześcianie: da się go podzielić na trzy jednakowe ostrosłupy o wspólnym wierzchołku w jednym rogu sześcianu, z których każdy ma za podstawę jedną z trzech ścian sześcianu niezawierających tego rogu. Na egzaminie wystarczy pamiętać wzór.
5.Ile krawędzi i wierzchołków ma ostrosłup?+
Odp.:Jeśli podstawą jest $n$ -kąt, ostrosłup ma $n + 1$ wierzchołków ( $n$ w podstawie i wierzchołek $S$ ), $2n$ krawędzi ( $n$ w podstawie i $n$ bocznych) oraz $n + 1$ ścian. Ostrosłup czworokątny ma więc $5$ wierzchołków, $8$ krawędzi i $5$ ścian.
6.Czy ostrosłupy są na maturze podstawowej?+
Odp.:Tak. W latach 2023–2026 ostrosłup pojawił się w trzech z czterech arkuszy matury podstawowej: w 2023 i 2026 roku jako zadanie otwarte z kątem nachylenia, a w 2024 roku jako zadanie o ostrosłupach podobnych. Na maturze dochodzi więc trygonometria: kąt nachylenia krawędzi bocznej albo ściany bocznej do podstawy. Przydaje się też broszura z wzorami i kalkulator prosty, które na maturze są obowiązkowe.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Ostrosłupy — objętość i pole powierzchni

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Narysuj i oznacz

2.Oblicz pole podstawy

3.Znajdź brakujący odcinek

4.Policz objętość i pole

5.Sprawdź

Przykłady

1.Z wysokości bryły do wysokości ściany

2.Z wysokości ściany do wysokości bryły

3.Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Zadanie z egzaminu

Na maturze

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła