Kleksa

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Kąty — przyległe, wierzchołkowe, przy prostych równoległych

Kąty pojawiają się w wielu zadaniach z geometrii na egzaminie ósmoklasisty. Wystarczy kilka faktów: kąty przyległe dają razem 180∘180^\circ, kąty wierzchołkowe są równe, przy prostych równoległych kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe, a suma kątów trójkąta wynosi 180∘180^\circ. Na tej stronie nauczysz się z nich korzystać krok po kroku, obliczysz kąty w trójkącie, w trapezie i w równoległoboku, a potem sprawdzisz się na prawdziwych zadaniach CKE.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, zwykle jako kąty w trójkącie, w trapezie albo w czworokącie.

  • kl. IV–VI
  • kl. VII–VIII
  • egzamin ósmoklasisty

Najważniejsze

to musisz umieć
  • Kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą. Suma ich miar jest równa 180∘180^\circ: jeśli jeden ma 70∘70^\circ, drugi ma 110∘110^\circ.
  • Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu dwóch prostych i leżą naprzeciw siebie. Mają równe miary, bo każdy z nich dopełnia ten sam kąt przyległy do 180∘180^\circ.
  • Gdy dwie proste równoległe przetnie trzecia prosta, kąty odpowiadające są równe i kąty naprzemianległe są równe. Dwa kąty leżące między prostymi równoległymi po tej samej stronie trzeciej prostej dają razem 180∘180^\circ.
  • Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180∘180^\circ. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc z jednego kąta obliczysz dwa pozostałe.
  • Suma kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 360∘360^\circ, bo przekątna dzieli go na dwa trójkąty. W trapezie kąty przy jednym ramieniu dają razem 180∘180^\circ, a w równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie dają razem 180∘180^\circ.
  • Rodzaje kątów: ostry ma mniej niż 90∘90^\circ, prosty dokładnie 90∘90^\circ, rozwarty więcej niż 90∘90^\circ, ale mniej niż 180∘180^\circ, a kąt półpełny ma 180∘180^\circ.
klmα180° − ααα

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

  1. 1.Wpisz dane na rysunek

    Zapisz każdą znaną miarę w odpowiednim kącie na rysunku. Jeśli rysunku nie ma, naszkicuj go sam. Zaznacz też proste równoległe i równe boki: one podpowiadają, które kąty są równe.

  2. 2.Szukaj par kątów

    Przy każdym punkcie przecięcia sprawdź, czy szukany kąt jest przyległy do znanego (odejmujesz od 180∘180^\circ), czy wierzchołkowy (ta sama miara). Przy prostych równoległych szukaj kątów odpowiadających i naprzemianległych.

  3. 3.Skorzystaj z sumy kątów figury

    Gdy w trójkącie znasz dwa kąty, trzeci to 180∘180^\circ minus ich suma. W czworokącie odejmujesz od 360∘360^\circ. W trapezie korzystaj z tego, że kąty przy ramieniu dają razem 180∘180^\circ.

  4. 4.Ułóż równanie, gdy kąty zależą od siebie

    Jeśli treść mówi, że jeden kąt jest dwa razy większy albo o 30∘30^\circ większy od drugiego, oznacz mniejszy literą xx, zapisz pozostałe za pomocą xx i przyrównaj ich sumę do 180∘180^\circ lub 360∘360^\circ.

  5. 5.Sprawdź wynik

    Dodaj kąty trójkąta albo czworokąta i porównaj z 180∘180^\circ lub 360∘360^\circ. Sprawdź też, czy kąt, który wygląda na rozwarty, wyszedł większy od 90∘90^\circ. Nie odczytuj miar z rysunku: oblicz je z własności kątów.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

  1. 1.Cztery kąty przy przecięciu dwóch prostych

    Dwie proste przecinają się w jednym punkcie. Jeden z czterech kątów, które powstały, jest o 40∘40^\circ większy od kąta do niego przyległego. Oblicz miary wszystkich czterech kątów.

  2. 2.Kąty trapezu

    W trapezie ABCDABCD podstawa ABAB jest równoległa do podstawy CDCD. Kąt DABDAB ma miarę 65∘65^\circ, a kąt ABCABC ma miarę 80∘80^\circ. Oblicz miary kątów ADCADC i BCDBCD.
    ABCD65°80°

  3. 3.Trójkąt równoramienny i kąt przyległy

    W trójkącie równoramiennym ABCABC ramiona ACAC i BCBC mają równe długości, a kąt ACBACB ma miarę 40∘40^\circ. Bok ABAB przedłużono poza punkt BB do punktu DD. Oblicz miarę kąta CBDCBD.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE
Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.
Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 18

Zadanie 18. (0–2 pkt)

Na rysunku przedstawiono trapez ABCDABCD, w którym kąt ABCABC ma miarę 48∘48^\circ. Odcinek ECEC dzieli ten trapez na równoległobok AECDAECD i trójkąt EBCEBC, w którym kąt BCEBCE ma miarę 57∘57^\circ (zobacz rysunek). Oblicz miary kątów DABDAB, BCDBCD, CDACDA trapezu ABCDABCD. Zapisz obliczenia.48°57°AEBCD

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 18 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu
Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.
egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono: α\alpha, β\beta, γ\gamma oraz δ\delta. Miara kąta β\beta jest o 70∘70^\circ większa od miary kąta α\alpha, miara kąta γ\gamma jest dwukrotnie większa od miary kąta α\alpha. Kąt δ\delta jest kątem prostym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta β\beta jest równa

Zadanie 11 z arkusza CKE OMAP-100-2605 (egzamin ósmoklasisty 2026) — wyjaśnienie Kleksy

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę 29°. Ile stopni ma kąt między ramionami tego trójkąta?
°

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Na rysunku przedstawiono trójkąt ABC i podano miary dwóch jego kątów. Oblicz miarę (w stopniach) kąta oznaczonego znakiem zapytania.
ABC41°46°?
°

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 4. (0–1)

Dwie proste przecinają się tak, jak na rysunku. Oblicz miarę (w stopniach) kąta oznaczonego znakiem zapytania.
125°?
°

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

egzamin ósmoklasisty(0–2 pkt)

W trójkącie ABC kąt BAC ma miarę 35°, a kąt ACB ma miarę 110°. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoramienny.

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt
  • Mylenie kątów przyległych z wierzchołkowymi. Kąty przyległe leżą obok siebie i dają razem 180∘180^\circ, a wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i są równe.
  • Korzystanie z równości kątów odpowiadających albo naprzemianległych, gdy proste nie są równoległe. Te równości zachodzą tylko przy prostych równoległych, więc najpierw sprawdź, czy treść zadania to mówi.
  • W trójkącie równoramiennym pomylenie kąta między ramionami z kątem przy podstawie. Gdy kąt między ramionami ma 40∘40^\circ, kąty przy podstawie mają po 70∘70^\circ; gdy kąt przy podstawie ma 40∘40^\circ, kąt między ramionami ma 100∘100^\circ.
  • Przekonanie, że kąty przy jednej podstawie trapezu dają razem 180∘180^\circ. Do 180∘180^\circ sumują się kąty przy jednym ramieniu, bo to ramię przecina dwie równoległe podstawy.
  • Odczytywanie miary kąta z rysunku na oko. Rysunek w zadaniu pokazuje układ figur, ale miary trzeba obliczyć z własności kątów i zapisać obliczenia.

Do zapamiętania

  • Kąty przyległe: razem 180∘180^\circ. Kąty wierzchołkowe: równe.
  • Przy prostych równoległych kąty odpowiadające są równe i kąty naprzemianległe są równe.
  • Suma kątów trójkąta: 180∘180^\circ. Suma kątów czworokąta: 360∘360^\circ.
  • W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
  • W trapezie kąty przy jednym ramieniu dają razem 180∘180^\circ.
  • W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie dają razem 180∘180^\circ.

Pytania i odpowiedzi

  1. 1.Co to są kąty przyległe i ile wynosi ich suma?+
    Odp.:Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a ich pozostałe ramiona tworzą jedną prostą. Razem tworzą kąt półpełny, więc suma ich miar zawsze wynosi 180∘180^\circ. Jeśli jeden z nich ma 35∘35^\circ, drugi ma 180∘−35∘=145∘180^\circ - 35^\circ = 145^\circ.
  2. 2.Dlaczego kąty wierzchołkowe są równe?+
    Odp.:Gdy dwie proste się przecinają, każdy z dwóch kątów wierzchołkowych jest przyległy do tego samego trzeciego kąta. Oba dopełniają go do 180∘180^\circ, więc muszą mieć tę samą miarę. Przy przecięciu dwóch prostych powstają więc dwie pary równych kątów, a kąty sąsiednie dają razem 180∘180^\circ.
  3. 3.Czym różnią się kąty odpowiadające od naprzemianległych?+
    Odp.:Oba rodzaje powstają, gdy dwie proste przetnie trzecia prosta. Kąty odpowiadające leżą po tej samej stronie trzeciej prostej i w tym samym położeniu względem każdej z dwóch prostych, jak w przesuniętej kopii. Kąty naprzemianległe leżą między dwiema prostymi, po przeciwnych stronach trzeciej prostej. Gdy dwie proste są równoległe, kąty odpowiadające są równe i kąty naprzemianległe są równe.
  4. 4.Ile wynosi suma kątów w trójkącie i w czworokącie?+
    Odp.:Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi 180∘180^\circ. Suma kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi 360∘360^\circ, bo przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Z tych sum korzystasz, gdy znasz wszystkie kąty figury oprócz jednego: odejmujesz znane kąty od 180∘180^\circ albo od 360∘360^\circ.
  5. 5.Jak obliczyć kąty trójkąta równoramiennego, gdy znam jeden kąt?+
    Odp.:Jeśli znasz kąt między ramionami, odejmij go od 180∘180^\circ i podziel wynik przez 22: dla 40∘40^\circ kąty przy podstawie mają po 70∘70^\circ. Jeśli znasz kąt przy podstawie, drugi kąt przy podstawie jest taki sam, a kąt między ramionami to 180∘180^\circ minus podwojony kąt przy podstawie: dla 40∘40^\circ wychodzi 100∘100^\circ.
  6. 6.Czy na egzaminie ósmoklasisty można zmierzyć kąt kątomierzem?+
    Odp.:Nie. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz tylko długopis i linijkę, bez kątomierza i bez kalkulatora. Zresztą zadania o kątach sprawdzają, czy umiesz miary obliczyć z własności kątów i wielokątów, a nie zmierzyć. Zapisz obliczenia: w zadaniach otwartych punkty dostajesz przede wszystkim za sposób rozwiązania, a nie za sam wynik.
  7. 7.W której klasie uczy się o kątach?+
    Odp.:Rodzaje kątów, kąty przyległe i wierzchołkowe oraz sumę kątów trójkąta poznajesz w klasach IV–VI. W klasach VII–VIII dochodzą kąty odpowiadające i naprzemianległe przy prostych równoległych oraz obliczenia w trójkątach równoramiennych. Na egzaminie ósmoklasisty obowiązuje całość, więc warto powtórzyć też materiał z młodszych klas.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.