Jakie boki ma trójkąt 30 60 90?

Jeśli krótsza przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$, ma długość $x$, to przeciwprostokątna ma długość $2x$, a dłuższa przyprostokątna, naprzeciw kąta $60^\circ$, ma długość $x\sqrt{3}$. Na przykład przy przeciwprostokątnej $10$ przyprostokątne mają $5$ i $5\sqrt{3}$. Boki mają się do siebie jak $1 : \sqrt{3} : 2$.

Jakie boki ma trójkąt 45 45 90?

To trójkąt prostokątny równoramienny, czyli połowa kwadratu. Obie przyprostokątne mają tę samą długość $a$, a przeciwprostokątna jest przekątną kwadratu i ma długość $a\sqrt{2}$. Przy przyprostokątnych $5$ przeciwprostokątna ma $5\sqrt{2}$, a przy przeciwprostokątnej $8$ każda przyprostokątna ma $4\sqrt{2}$.

Dlaczego bok naprzeciw kąta 30° jest połową przeciwprostokątnej?

Dorysuj do trójkąta $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ jego odbicie wzdłuż dłuższej przyprostokątnej. Powstanie trójkąt o trzech kątach $60^\circ$, czyli równoboczny, którego bokiem jest przeciwprostokątna. Krótsza przyprostokątna to połowa jego podstawy, bo wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części.

Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać te zależności?

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymienia ich osobno. Wymaga sumy kątów trójkąta i twierdzenia Pitagorasa, a z nich obie zależności da się wyprowadzić. CKE pyta o takie trójkąty: w 2026 roku o wysokość i pole trójkąta równobocznego, w 2024 roku o trójkąt prostokątny równoramienny. Znajomość proporcji oszczędza czas, ale w zadaniu otwartym zapisz obliczenia z twierdzenia Pitagorasa.

Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego?

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny o boku $a$ na dwa trójkąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ z przeciwprostokątną $a$ i krótszą przyprostokątną $\frac{a}{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$, więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Dla boku $8$ wysokość ma długość $4\sqrt{3}$, a dla boku $2$ wynosi $\sqrt{3}$.

Skąd wziąć sinus i cosinus kątów 30°, 45° i 60° na maturze?

Z tych samych trójkątów. W trójkącie o bokach $1$, $\sqrt{3}$, $2$ sinus kąta $30^\circ$ to $\frac{1}{2}$, a cosinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$. W trójkącie o bokach $1$, $1$, $\sqrt{2}$ sinus i cosinus kąta $45^\circ$ to $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Na maturze masz też tabelę tych wartości w broszurze CKE, na stronie 13.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Trójkąty o kątach 30°, 60°, 90° i 45°, 45°, 90°

Dwa trójkąty prostokątne pojawiają się w zadaniach tak często, że warto znać ich boki na pamięć. Trójkąt o kątach $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ to połowa kwadratu, a trójkąt o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego. Na egzaminie ósmoklasisty policzysz ich boki z twierdzenia Pitagorasa, a gotowe zależności tylko przyspieszą rachunek. Na maturze dochodzą z nich wartości sinusa, cosinusa i tangensa. Tu znajdziesz zależności, ich wyprowadzenie, przykłady i zadania CKE.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 2 z 4 arkuszy 2023–2026, zawsze do policzenia z twierdzenia Pitagorasa; na maturze podstawowej: w każdym, zwykle przez wartości funkcji trygonometrycznych.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Trójkąt o kątach $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ to połowa kwadratu przeciętego przekątną. Jego przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa: przy przyprostokątnej $a$ masz $a^2 + a^2 = 2a^2$ , więc przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$ .
Trójkąt o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego przeciętego wysokością. Jeśli bok trójkąta równobocznego ma długość $a$ , to przeciwprostokątna połowy ma długość $a$ , a przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ ma długość $\frac{a}{2}$ , bo wysokość dzieli bok na połowy.
Druga przyprostokątna trójkąta $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ wynika z twierdzenia Pitagorasa: $a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$ , więc ma ona długość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . To jest też wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ .
W skrócie: boki trójkąta $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ mają się do siebie jak $1 : \sqrt{3} : 2$ , a boki trójkąta $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ jak $1 : 1 : \sqrt{2}$ . Najkrótszy bok zawsze leży naprzeciw najmniejszego kąta.
Na egzaminie ósmoklasisty te zależności nie są osobnym wymaganiem: wystarczą suma kątów trójkąta i twierdzenie Pitagorasa. Gotowe proporcje są skrótem, który zawsze możesz odtworzyć, dorysowując drugą połowę kwadratu albo trójkąta równobocznego.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Rozpoznaj trójkąt po kątach
Sprawdź, jakie kąty ma trójkąt prostokątny. Gdy jeden kąt ostry ma $45^\circ$ , drugi też ma $45^\circ$ , a trójkąt jest połową kwadratu. Gdy jeden kąt ostry ma $30^\circ$ albo $60^\circ$ , drugi ma odpowiednio $60^\circ$ albo $30^\circ$ , a trójkąt jest połową trójkąta równobocznego.
2.Ustal, który bok znasz
W trójkącie $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ nazwij boki: krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta $30^\circ$ , dłuższa naprzeciw kąta $60^\circ$ , a przeciwprostokątna naprzeciw kąta prostego. Krótsza przyprostokątna jest połową przeciwprostokątnej.
3.Oznacz najkrótszy bok literą
Oznacz krótszą przyprostokątną przez $x$ . Wtedy przeciwprostokątna to $2x$ , a dłuższa przyprostokątna to $x\sqrt{3}$ . W trójkącie $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ przyprostokątne to $x$ i $x$ , a przeciwprostokątna to $x\sqrt{2}$ . Przyrównaj znany bok do jego wyrażenia i oblicz $x$ .
4.Gdy nie pamiętasz, policz z twierdzenia Pitagorasa
Zapisz twierdzenie Pitagorasa dla boków $x$ , $2x$ i szukanej przyprostokątnej albo dla $x$ , $x$ i przeciwprostokątnej. Wychodzi to samo, a na egzaminie ósmoklasisty taki zapis jest pełnym uzasadnieniem.
5.Sprawdź wynik
Przeciwprostokątna musi być najdłuższa, a bok naprzeciw kąta $30^\circ$ najkrótszy. Uprość pierwiastek, na przykład $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , i porównaj wynik z odpowiedziami.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Bok kwadratu z jego przekątnej
Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość $8$ cm. Oblicz długość boku tego kwadratu i jego pole.
2.Trójkąt 30°, 60°, 90° z danej przeciwprostokątnej
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $30^\circ$ , a przeciwprostokątna ma długość $10$ cm. Oblicz długości przyprostokątnych.
3.Bok trójkąta równobocznego z jego wysokości
Wysokość trójkąta równobocznego ma długość $6$ cm. Oblicz długość boku tego trójkąta i jego pole.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2026, zadanie 10

Zadanie 10. (0–1)

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości

2

cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wysokość tego trójkąta jest równa

\sqrt{3}

cm.

Pole tego trójkąta jest równe

\sqrt{3}

cm².

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2026, arkusz OMAP-100-2605, zadanie 10 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym trójkąty

30^\circ

60^\circ

90^\circ

45^\circ

45^\circ

90^\circ

wracają jako źródło wartości funkcji trygonometrycznych. Podstawa programowa liceum (wymaganie VII.1) wymaga wyznaczania sinusa, cosinusa i tangensa kątów

30^\circ

45^\circ

60^\circ

. Wszystkie te wartości odczytasz z boków

1

\sqrt{3}

2

oraz

1

1

\sqrt{2}

W trójkącie o bokach

1

\sqrt{3}

2

\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}

\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} ={}

\frac{\sqrt{3}}{3}

oraz

\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}

. W trójkącie o bokach

1

1

\sqrt{2}

\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}

\operatorname{tg} 45^\circ = 1

Na maturze te kąty pojawiają się co roku: w polu trójkąta

P ={}

\frac{1}{2}ab\sin\gamma

z kątem

60^\circ

albo

120^\circ

, w rombie i równoległoboku, w ostrosłupie, którego krawędź jest nachylona do podstawy pod kątem

30^\circ

, i w trójkącie równobocznym wpisanym w okrąg, gdzie promień okręgu opisanego to

\frac{2}{3}

wysokości.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 22

Zadanie 22. (0–1)

W okrąg

\mathcal{O}

o promieniu

9\sqrt{3}

wpisano trójkąt równoboczny

\mathcal{T}

. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta

\mathcal{T}

ma długość .

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 22 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

3\operatorname{tg} 45^\circ - 8\cos 60^\circ

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 2. (0–1)

Oblicz wartość wyrażenia

10\cos 60^\circ - 2\operatorname{tg} 45^\circ

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę

30^\circ

, a przeciwprostokątna ma długość

14

cm. Oblicz długość przyprostokątnej, która leży naprzeciw kąta

30^\circ

. Wynik podaj w centymetrach.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego równoramiennego mają po

4

cm. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 5. (0–1)

W trójkącie prostokątnym

ABC

kąt przy wierzchołku

C

jest prosty, kąt

BAC

ma miarę

60^\circ

, a przyprostokątna

AC

ma długość

3

cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Przeciwprostokątna

AB

ma długość

6

cm.

Przyprostokątna

BC

ma długość

3\sqrt{2}

cm.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Pomylenie przyprostokątnych w trójkącie $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Połową przeciwprostokątnej jest przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ , a nie ta, która tworzy z przeciwprostokątną kąt $30^\circ$ .
Pomylenie $\sqrt{2}$ z $\sqrt{3}$ . Przekątna kwadratu to $a\sqrt{2}$ , a wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Jeśli nie masz pewności, policz z twierdzenia Pitagorasa.
Dzielenie przeciwprostokątnej przez $2$ w trójkącie $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ . Ten skrót działa tylko naprzeciw kąta $30^\circ$ ; w połowie kwadratu przyprostokątne są równe i każda jest $\sqrt{2}$ razy krótsza od przeciwprostokątnej.
Stosowanie tych zależności w trójkącie, o którego kątach nic nie wiadomo. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $1$ i $2$ nie ma kąta $30^\circ$ , więc jego przeciwprostokątną liczysz z twierdzenia Pitagorasa: $\sqrt{5}$ .

Do zapamiętania

Kąty $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ : boki $a$ , $a$ , $a\sqrt{2}$ , czyli połowa kwadratu.
Kąty $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ : boki $x$ , $x\sqrt{3}$ , $2x$ , czyli połowa trójkąta równobocznego.
Naprzeciw kąta $30^\circ$ leży bok równy połowie przeciwprostokątnej.
Przekątna kwadratu o boku $a$ : $a\sqrt{2}$ . Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ : $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ : $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Trygonometria§ 9 · strona 11–15
Planimetria§ 10 · strona 15–22

Na stronie 13 broszury, w części o trygonometrii, jest tabela wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów

0^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

90^\circ

. Na stronie 16, w części o planimetrii, znajdziesz związki miarowe w trójkącie prostokątnym i w trójkącie równobocznym: wysokość

h = \frac{a\sqrt{3}}{2}

, pole

\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

oraz promienie okręgów wpisanego

r = \frac{1}{3}h

i opisanego

R = \frac{2}{3}h

Same proporcje boków

1 : \sqrt{3} : 2

1 : 1 : \sqrt{2}

nie są wypisane osobno, ale wynikają z tej tabeli. Na egzaminie ósmoklasisty żadnej broszury nie dostajesz, więc tam licz z twierdzenia Pitagorasa.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jakie boki ma trójkąt 30 60 90?+
Odp.:Jeśli krótsza przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$ , ma długość $x$ , to przeciwprostokątna ma długość $2x$ , a dłuższa przyprostokątna, naprzeciw kąta $60^\circ$ , ma długość $x\sqrt{3}$ . Na przykład przy przeciwprostokątnej $10$ przyprostokątne mają $5$ i $5\sqrt{3}$ . Boki mają się do siebie jak $1 : \sqrt{3} : 2$ .
2.Jakie boki ma trójkąt 45 45 90?+
Odp.:To trójkąt prostokątny równoramienny, czyli połowa kwadratu. Obie przyprostokątne mają tę samą długość $a$ , a przeciwprostokątna jest przekątną kwadratu i ma długość $a\sqrt{2}$ . Przy przyprostokątnych $5$ przeciwprostokątna ma $5\sqrt{2}$ , a przy przeciwprostokątnej $8$ każda przyprostokątna ma $4\sqrt{2}$ .
3.Dlaczego bok naprzeciw kąta 30° jest połową przeciwprostokątnej?+
Odp.:Dorysuj do trójkąta $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ jego odbicie wzdłuż dłuższej przyprostokątnej. Powstanie trójkąt o trzech kątach $60^\circ$ , czyli równoboczny, którego bokiem jest przeciwprostokątna. Krótsza przyprostokątna to połowa jego podstawy, bo wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części.
4.Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać te zależności?+
Odp.:Podstawa programowa szkoły podstawowej nie wymienia ich osobno. Wymaga sumy kątów trójkąta i twierdzenia Pitagorasa, a z nich obie zależności da się wyprowadzić. CKE pyta o takie trójkąty: w 2026 roku o wysokość i pole trójkąta równobocznego, w 2024 roku o trójkąt prostokątny równoramienny. Znajomość proporcji oszczędza czas, ale w zadaniu otwartym zapisz obliczenia z twierdzenia Pitagorasa.
5.Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego?+
Odp.:Wysokość dzieli trójkąt równoboczny o boku $a$ na dwa trójkąty $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ z przeciwprostokątną $a$ i krótszą przyprostokątną $\frac{a}{2}$ . Z twierdzenia Pitagorasa $h^2 ={}$ $a^2 - \frac{a^2}{4} ={}$ $\frac{3a^2}{4}$ , więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Dla boku $8$ wysokość ma długość $4\sqrt{3}$ , a dla boku $2$ wynosi $\sqrt{3}$ .
6.Skąd wziąć sinus i cosinus kątów 30°, 45° i 60° na maturze?+
Odp.:Z tych samych trójkątów. W trójkącie o bokach $1$ , $\sqrt{3}$ , $2$ sinus kąta $30^\circ$ to $\frac{1}{2}$ , a cosinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . W trójkącie o bokach $1$ , $1$ , $\sqrt{2}$ sinus i cosinus kąta $45^\circ$ to $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Na maturze masz też tabelę tych wartości w broszurze CKE, na stronie 13.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Trójkąty o kątach 30°, 60°, 90° i 45°, 45°, 90°

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Rozpoznaj trójkąt po kątach

2.Ustal, który bok znasz

3.Oznacz najkrótszy bok literą

4.Gdy nie pamiętasz, policz z twierdzenia Pitagorasa

5.Sprawdź wynik

Przykłady

1.Bok kwadratu z jego przekątnej

2.Trójkąt 30°, 60°, 90° z danej przeciwprostokątnej

3.Bok trójkąta równobocznego z jego wysokości

Zadanie z egzaminu

Na maturze

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła