Jaki jest wzór na długość okręgu?

Długość okręgu o promieniu $r$ to $L = 2\pi r$, a jeśli znasz średnicę $d$, to $L = \pi d$. Na przykład okrąg o promieniu $10$ cm ma długość $20\pi$ cm, czyli w przybliżeniu $62{,}8$ cm przy $\pi \approx 3{,}14$. Ten sam wzór daje obwód koła: to długość jego brzegu.

Jaki jest wzór na pole koła?

Pole koła o promieniu $r$ to $P = \pi r^2$. Najpierw podnosisz promień do kwadratu, potem mnożysz przez $\pi$. Koło o promieniu $4$ cm ma pole $16\pi$ cm², czyli około $50{,}24$ cm². Gdy znasz średnicę, podziel ją najpierw przez $2$.

Czym różni się koło od okręgu?

Okrąg to sama linia: zbiór punktów odległych od środka o promień. Koło to okrąg razem z całym obszarem w jego wnętrzu. Dlatego okrąg ma długość, a koło ma pole. W zadaniach słowo obwód koła oznacza długość okręgu, który jest brzegiem tego koła.

Jakie przybliżenie liczby π stosować?

Najczęściej $\pi \approx 3{,}14$, a czasem $\pi \approx \frac{22}{7}$, gdy liczby w zadaniu są wielokrotnościami $7$. Jeśli zadanie podaje przybliżenie, użyj właśnie tego. Jeśli nie podaje, zostaw wynik z $\pi$, na przykład $25\pi$ cm²: to wynik dokładny, a przybliżenie zawsze jest trochę niedokładne.

Jak obliczyć promień, gdy znam pole koła?

Zapisz równanie $\pi r^2 = P$, podziel obie strony przez $\pi$ i wyciągnij pierwiastek. Dla pola $100\pi$ cm² masz $r^2 = 100$, więc $r = 10$ cm, a średnica ma $20$ cm. Gdy znasz długość okręgu, dzielisz ją przez $2\pi$: z $30\pi$ cm dostajesz $r = 15$ cm.

Czy pole koła i długość okręgu są na egzaminie ósmoklasisty?

Tak, to wymagania XIV.1–4 podstawy programowej dla klas VII–VIII, więc obowiązują na egzaminie. W arkuszach z lat 2023–2026 CKE nie dała osobnego zadania na ten temat, ale wzory przydają się też w zadaniach o figurach złożonych. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty nie masz kalkulatora ani karty wzorów, więc wzory trzeba znać na pamięć.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Długość okręgu i pole koła

Dwa wzory wystarczą do większości zadań o kole: długość okręgu to $2\pi r$ , a pole koła to $\pi r^2$ . Na tej stronie nauczysz się odróżniać okrąg od koła, liczyć długość i pole z promienia albo ze średnicy, wracać od pola lub obwodu do promienia i przybliżać wynik. Na koniec zobaczysz, co z tego jest na maturze: łuk i wycinek koła.

Na egzaminie ósmoklasisty: w żadnym z arkuszy 2023–2026 nie było osobnego zadania, ale wymaganie obowiązuje; na maturze podstawowej: też w żadnym.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
egzamin ósmoklasisty
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Okrąg to linia: wszystkie punkty odległe od środka o promień $r$ . Koło to okrąg razem z jego wnętrzem. Dlatego mówimy o długości okręgu i o polu koła.
Średnica $d$ przechodzi przez środek i jest dwa razy dłuższa od promienia: $d = 2r$ . To najdłuższa cięciwa, czyli najdłuższy odcinek łączący dwa punkty okręgu.
Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$ . Dla promienia $3$ cm wychodzi $6\pi$ cm.
Pole koła: $P = \pi r^2$ . Do kwadratu podnosisz sam promień, a potem mnożysz przez $\pi$ . Dla promienia $3$ cm wychodzi $9\pi$ cm².
Liczba $\pi$ to stosunek długości okręgu do jego średnicy, taki sam dla każdego okręgu: $\pi \approx 3{,}14$ . Wynik z $\pi$ , na przykład $6\pi$ , jest dokładny; przybliżasz go tylko wtedy, gdy zadanie o to prosi.
Zadanie odwrotne: z długości okręgu dostajesz promień, dzieląc przez $2\pi$ , a z pola koła, dzieląc przez $\pi$ i wyciągając pierwiastek. Pole $64\pi$ daje $r^2 = 64$ , czyli $r = 8$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Ustal, o co pyta zadanie
Sprawdź, czy chodzi o długość okręgu (obwód, drogę koła, długość płotu wokół klombu), czy o pole koła (powierzchnię, ilość farby, trawnik). Długość ma jednostkę długości, pole jednostkę kwadratową.
2.Znajdź promień
Jeśli dana jest średnica, podziel ją przez $2$ . Zapisz promień wyraźnie, zanim podstawisz go do wzoru: najczęstszy błąd to podstawienie średnicy w miejsce promienia.
3.Podstaw do wzoru
Długość: $L = 2\pi r$ . Pole: $P = \pi r^2$ . Zostaw wynik z $\pi$ , na przykład $6\pi$ cm albo $9\pi$ cm².
4.Przybliż, jeśli trzeba
Gdy zadanie każe przyjąć $\pi \approx 3{,}14$ , pomnóż liczbę stojącą przy $\pi$ przez $3{,}14$ . Zaokrąglaj dopiero na końcu, a w zadaniach praktycznych sprawdź, czy wynik ma sens.
5.Sprawdź wynik
Porównaj z prostym oszacowaniem: długość okręgu to trochę ponad trzy średnice, a pole koła to trochę ponad trzy kwadraty o boku równym promieniowi.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Droga koła rowerowego
Koło roweru ma średnicę $70$ cm. Oblicz, jaką drogę przejedzie rower, gdy jego koło obróci się $100$ razy. Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .
2.Pole koła z jego średnicy
Koło ma średnicę $10$ cm. Oblicz pole tego koła. Podaj wynik dokładny i przybliżony, przyjmując $\pi \approx 3{,}14$ .
3.Od pola koła do długości okręgu
Pole koła jest równe $64\pi$ cm². Oblicz długość okręgu, który jest brzegiem tego koła.
4.Koło w kwadracie
W kwadracie o boku $8$ cm narysowano największe koło, jakie się w nim mieści. Oblicz pole części kwadratu, która leży poza kołem. Przyjmij $\pi \approx 3{,}14$ .

Na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym wzory na długość okręgu i pole koła są punktem wyjścia, a podstawa programowa liceum (wymaganie VIII.6) dodaje do nich łuk i wycinek koła. Wycinek wyznaczony przez kąt środkowy

\alpha

to taka część koła, jaką część kąta pełnego stanowi

\alpha

: jego pole to

P ={}

\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

, a długość łuku to

L ={}

\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r

Przykład: dla promienia

12

i kąta środkowego

60^\circ

łuk ma długość

\frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 24\pi = 4\pi

, a wycinek ma pole

\frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 144\pi = 24\pi

. Ćwiartka koła o promieniu

4

ma pole

\frac{1}{4} \cdot 16\pi = 4\pi

Wymaganie VIII.1 łączy okrąg z twierdzeniem Pitagorasa: cięciwa odległa od środka o

3

w okręgu o promieniu

5

ma połowę długości

\sqrt{5^2 - 3^2} = 4

, czyli całą długość

8

. W arkuszach 2023–2026 okręgi na maturze pojawiały się w zadaniach o kątach wpisanych, o trójkącie wpisanym w okrąg i o równaniu okręgu, a nie o polu koła ani o wycinku.

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Długość okręgu jest równa

18\pi

cm. Oblicz promień tego okręgu. Wynik podaj w centymetrach.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Pole koła jest równe

36\pi

cm². Oblicz średnicę tego koła. Wynik podaj w centymetrach.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

W kwadracie o boku

10

cm narysowano największe koło, jakie się w nim mieści. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Promień tego koła jest równy

5

cm.

Długość okręgu, który jest brzegiem tego koła, jest większa od obwodu kwadratu.

Zadanie napisane do tej strony — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Podstawienie średnicy w miejsce promienia. Gdy dana jest średnica $10$ cm, pole koła to $\pi \cdot 5^2 ={}$ $25\pi$ cm², a nie $\pi \cdot 10^2 ={}$ $100\pi$ cm².
Pomylenie wzorów. Długość okręgu to $2\pi r$ , a pole koła to $\pi r^2$ . Pomaga jednostka: długość wychodzi w centymetrach, pole w centymetrach kwadratowych, bo promień występuje w nim dwa razy.
Podniesienie do kwadratu całego iloczynu. We wzorze $\pi r^2$ do kwadratu podnosisz tylko promień: dla $r = 3$ pole to $9\pi$ , a nie $(3\pi)^2 = 9\pi^2$ .
Zapomnienie o pierwiastku w zadaniu odwrotnym. Jeśli pole koła to $49\pi$ , to $r^2 = 49$ , więc promień ma $7$ , a nie $49$ .
Zaokrąglanie w trakcie rachunku. Licz na wyniku z $\pi$ i przybliżaj dopiero na końcu, tak jak każe zadanie, na przykład z $\pi \approx 3{,}14$ .

Do zapamiętania

Średnica: $d = 2r$ .
Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$ .
Pole koła: $P = \pi r^2$ .
$\pi \approx 3{,}14$ ; wynik z $\pi$ jest dokładny.
Z pola do promienia: $r ={}$ $\sqrt{\frac{P}{\pi}}$ . Z długości do promienia: $r = \frac{L}{2\pi}$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Planimetria§ 10 · strona 15–22

Wzory na pole koła

P = \pi r^2

i na jego obwód

L = 2\pi r

są na stronie 18 broszury, w części o planimetrii. Broszura nazywa długość okręgu obwodem koła; to ta sama liczba.

Na stronie 19 znajdziesz pole wycinka koła i długość łuku dla kąta środkowego

\alpha

wyrażonego w stopniach, a obok twierdzenia o kątach w okręgu. Na egzaminie ósmoklasisty broszury nie dostajesz, więc obu podstawowych wzorów naucz się na pamięć.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jaki jest wzór na długość okręgu?+
Odp.:Długość okręgu o promieniu $r$ to $L = 2\pi r$ , a jeśli znasz średnicę $d$ , to $L = \pi d$ . Na przykład okrąg o promieniu $10$ cm ma długość $20\pi$ cm, czyli w przybliżeniu $62{,}8$ cm przy $\pi \approx 3{,}14$ . Ten sam wzór daje obwód koła: to długość jego brzegu.
2.Jaki jest wzór na pole koła?+
Odp.:Pole koła o promieniu $r$ to $P = \pi r^2$ . Najpierw podnosisz promień do kwadratu, potem mnożysz przez $\pi$ . Koło o promieniu $4$ cm ma pole $16\pi$ cm², czyli około $50{,}24$ cm². Gdy znasz średnicę, podziel ją najpierw przez $2$ .
3.Czym różni się koło od okręgu?+
Odp.:Okrąg to sama linia: zbiór punktów odległych od środka o promień. Koło to okrąg razem z całym obszarem w jego wnętrzu. Dlatego okrąg ma długość, a koło ma pole. W zadaniach słowo obwód koła oznacza długość okręgu, który jest brzegiem tego koła.
4.Jakie przybliżenie liczby π stosować?+
Odp.:Najczęściej $\pi \approx 3{,}14$ , a czasem $\pi \approx \frac{22}{7}$ , gdy liczby w zadaniu są wielokrotnościami $7$ . Jeśli zadanie podaje przybliżenie, użyj właśnie tego. Jeśli nie podaje, zostaw wynik z $\pi$ , na przykład $25\pi$ cm²: to wynik dokładny, a przybliżenie zawsze jest trochę niedokładne.
5.Jak obliczyć promień, gdy znam pole koła?+
Odp.:Zapisz równanie $\pi r^2 = P$ , podziel obie strony przez $\pi$ i wyciągnij pierwiastek. Dla pola $100\pi$ cm² masz $r^2 = 100$ , więc $r = 10$ cm, a średnica ma $20$ cm. Gdy znasz długość okręgu, dzielisz ją przez $2\pi$ : z $30\pi$ cm dostajesz $r = 15$ cm.
6.Czy pole koła i długość okręgu są na egzaminie ósmoklasisty?+
Odp.:Tak, to wymagania XIV.1–4 podstawy programowej dla klas VII–VIII, więc obowiązują na egzaminie. W arkuszach z lat 2023–2026 CKE nie dała osobnego zadania na ten temat, ale wzory przydają się też w zadaniach o figurach złożonych. Według komunikatu CKE na egzaminie ósmoklasisty nie masz kalkulatora ani karty wzorów, więc wzory trzeba znać na pamięć.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Długość okręgu i pole koła

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Ustal, o co pyta zadanie

2.Znajdź promień

3.Podstaw do wzoru

4.Przybliż, jeśli trzeba

5.Sprawdź wynik

Przykłady

1.Droga koła rowerowego

2.Pole koła z jego średnicy

3.Od pola koła do długości okręgu

4.Koło w kwadracie

Na maturze

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła