Co to jest proporcjonalność prosta?

To zależność między dwiema wielkościami, w której ich iloraz jest stały, czyli $y = a \cdot x$. Gdy jedna wielkość rośnie dwa, trzy albo dziesięć razy, druga rośnie tyle samo razy. Przykład: przy cenie $4$ zł za bułkę $3$ bułki kosztują $12$ zł, a $6$ bułek $24$ zł.

Jak sprawdzić, czy wielkości są wprost proporcjonalne?

Podziel każdą wartość jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość drugiej. Jeśli wszystkie ilorazy są równe, wielkości są wprost proporcjonalne, a wspólny iloraz to współczynnik proporcjonalności. Na wykresie taka zależność to punkty leżące na jednej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Co oznacza skala 1 : 100 000?

Oznacza, że $1$ cm na mapie odpowiada $100\,000$ cm w terenie, czyli $1\,000$ m, czyli $1$ km. Odcinek o długości $4{,}5$ cm na takiej mapie to w terenie $4{,}5$ km. Im większa liczba po dwukropku, tym bardziej pomniejszony jest teren na mapie.

Jak obliczyć odległość w terenie na podstawie skali?

Zmierz lub odczytaj odległość na mapie w centymetrach i pomnóż ją przez liczbę z prawej strony skali. Wynik jest w centymetrach, więc zamień go na metry, dzieląc przez $100$, albo na kilometry, dzieląc przez $100\,000$. Na przykład $8$ cm w skali $1 : 4\,000$ to $32\,000$ cm, czyli $320$ m.

Co to jest podział proporcjonalny?

To podział jakiejś wielkości na części, które pozostają do siebie w danym stosunku. Aby podzielić $120$ zł w stosunku $2 : 3$, dzielisz kwotę na $5$ równych części po $24$ zł i dajesz jednej osobie $2$ części, a drugiej $3$. Podział proporcjonalny jest jednym z wymagań klas VII–VIII.

Czym różni się proporcjonalność prosta od odwrotnej?

Przy proporcjonalności prostej stały jest iloraz wielkości: więcej jednej to więcej drugiej. Przy proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn: im więcej osób pracuje, tym krócej trwa praca. Proporcjonalność odwrotna nie należy do wymagań egzaminu ósmoklasisty, poznajesz ją dopiero w liceum.

W której klasie jest proporcjonalność prosta?

Skalę mapy i planu poznajesz już w klasach IV–VI, gdy obliczasz rzeczywistą długość odcinka z jego długości w skali i odwrotnie. Proporcjonalność prostą, z jej przykładami, współczynnikiem i podziałem proporcjonalnym, podstawa programowa umieszcza w klasach VII–VIII. Oba te działy sprawdza egzamin ósmoklasisty.

Egzamin ósmoklasisty 2027 · matematyka

Proporcjonalność prosta i skala

Gdy za $2$ kg jabłek płacisz $6$ zł, a za $4$ kg płacisz $12$ zł, cena jest wprost proporcjonalna do masy. Na tej stronie nauczysz się rozpoznawać wielkości wprost proporcjonalne, obliczać ich wartości metodą jednostkową i z proporcji, dzielić kwotę proporcjonalnie oraz przeliczać odległości na mapie i planie według skali. Znajdziesz tu metodę krok po kroku, przykłady, zadanie z arkusza CKE i zadania do sprawdzenia od razu na stronie.

Na egzaminie ósmoklasisty: w 3 z 4 arkuszy 2023–2026, jako zadanie o przepisie, o wykresie albo o skali planu.

kl. IV–VI
kl. VII–VIII
egzamin ósmoklasisty

Najważniejsze

to musisz umieć

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $\frac{y}{x} = a$ , czyli $y = a \cdot x$ . Ile razy zwiększysz jedną, tyle razy zwiększy się druga. Liczba $a$ to współczynnik proporcjonalności.
Przykłady z życia: cena towaru i jego ilość przy stałej cenie za sztukę, droga i czas przy stałej prędkości, ilość składników i liczba porcji w przepisie. Jeśli $5$ kg gruszek kosztuje $16$ zł, to współczynnik wynosi $16 : 5 = 3{,}2$ zł za kilogram.
Nie każda wielkość, która rośnie razem z drugą, jest do niej proporcjonalna. Kurs taksówki za $8$ zł opłaty startowej i $3$ zł za kilometr kosztuje $14$ zł za $2$ km, ale $20$ zł za $4$ km, a nie $28$ zł.
Podział proporcjonalny w stosunku $2 : 3$ oznacza podział na $2 + 3 = 5$ równych części: pierwsza osoba dostaje $2$ części, druga $3$ . Kwota $120$ zł dzieli się więc na $48$ zł i $72$ zł.
Skala $1 : n$ oznacza, że $1$ cm na mapie lub planie to $n$ cm w terenie. W skali $1 : 20\,000$ jeden centymetr to $20\,000$ cm, czyli $200$ m. Pamiętaj: $1$ m $= 100$ cm, a $1$ km $= 100\,000$ cm.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Sprawdź, czy to proporcjonalność
Zadaj sobie pytanie: czy dwa razy więcej jednej wielkości daje dwa razy więcej drugiej? Jeśli w zależności jest stała opłata albo coś, co się nie zmienia, metoda proporcji nie zadziała.
2.Oblicz wartość dla jednej jednostki
Podziel znaną wartość przez znaną ilość, na przykład cenę przez liczbę kilogramów. Otrzymasz współczynnik proporcjonalności: cenę jednego kilograma, drogę w ciągu jednej godziny albo ilość składnika na jedną porcję.
3.Pomnóż przez szukaną ilość
Pomnóż współczynnik przez ilość, o którą pyta zadanie. Możesz też ułożyć proporcję, na przykład $\frac{16}{5} ={}$ $\frac{x}{7}$ , i pomnożyć na krzyż. Obie drogi dają ten sam wynik.
4.Przy skali licz w centymetrach
Odległość z mapy pomnóż przez mianownik skali i dopiero na końcu zamień centymetry na metry lub kilometry. Gdy liczysz odległość na mapie, rzeczywistą odległość zamień najpierw na centymetry i podziel przez mianownik skali.
5.Sprawdź sens wyniku
Większa ilość towaru musi kosztować więcej, a odległość w terenie musi być dużo większa niż na mapie. Jeśli wynik wychodzi odwrotnie, zamieniłeś liczby w proporcji.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Cena za kilka kilogramów
W sklepie za $3$ kg jabłek zapłacono $10{,}50$ zł. Oblicz, ile trzeba zapłacić za $5$ kg takich samych jabłek.
2.Czy wielkości w tabeli są wprost proporcjonalne?
Za $2$ godziny pracy Tomek dostaje $70$ zł, za $5$ godzin $175$ zł, a za $8$ godzin $280$ zł. Sprawdź, czy zapłata jest wprost proporcjonalna do czasu pracy.
3.Podział proporcjonalny
Ola, Piotr i Kasia wpłacili na wspólny zakup $20$ zł, $30$ zł i $50$ zł. Zwrot $400$ zł dzielą proporcjonalnie do wpłat. Oblicz, ile dostanie każde z nich.
4.Skala mapy w obie strony
Mapa turystyczna ma skalę $1 : 25\,000$ . Trasa na mapie ma długość $7{,}2$ cm. Oblicz jej długość w terenie. Jak długi na tej mapie będzie odcinek, który w terenie ma $3$ km?

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 19

Zadanie 19. (0–2 pkt)

Na ścianie wiszą dwie tablice: mała kwadratowa i duża prostokątna. Mała tablica narysowana w skali

1:20

jest kwadratem o boku

3

cm. Rzeczywiste wymiary dużej prostokątnej tablicy są równe

240

cm i

90

cm. Oblicz, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 19 · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości oraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości, LUB poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości oraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości, LUB poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy narysowanej w skali 1 : 20, LUB poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy narysowanej w skali 1 : 20, LUB poprawny sposób ustalenia zależności między długościami boków prostokąta a długością boku kwadratu, np. zapisanie: 240 : 60 oraz 90 : 60 albo 12 : 3 oraz 4,5 : 3, LUB narysowanie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie figur: kwadratu oraz prostokąta, którego długość krótszego boku stanowi 1,5 długości boku kwadratu, a długość drugiego boku prostokąta jest 4 razy większa od długości boku kwadratu.1 pkt
Pełne rozwiązanie: poprawny sposób obliczenia, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (6 razy), LUB ustalenie poprawnych zależności między długościami boków prostokąta a długością boku kwadratu oraz ustalenie (na podstawie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie figur na rysunku lub na podstawie prawidłowego działania arytmetycznego), że pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy. Uwagi: 1. Nie ocenia się stosowania jednostki. 2. Jeżeli uczeń poprawnie obliczy pola obu tablic w wymiarach rzeczywistych albo w skali 1 : 20, a następnie proporcjonalnie zmniejszy lub zwiększy te pola oraz obliczy ich iloraz bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.1 pkt

Rozwiązanie Kleksy

Najpierw liczysz rzeczywisty bok małej tablicy. Skala

1 : 20

oznacza, że

1

cm na rysunku to

20

cm w rzeczywistości, więc bok ma

3 \cdot 20 = 60

cm.

Pole małej tablicy:

60 \cdot 60 ={}

3\,600

cm². Pole dużej tablicy:

240 \cdot 90 ={}

21\,600

cm².

Dzielisz pola:

21\,600 : 3\,600 ={}

6

. Pole dużej tablicy jest

6

razy większe od pola małej tablicy.

Możesz też liczyć na rysunku: duża tablica w skali

1 : 20

miałaby wymiary

240 : 20 = 12

cm i

90 : 20 = 4{,}5

cm, czyli pole

54

cm², a mała

3 \cdot 3 = 9

cm². Iloraz jest ten sam:

54 : 9 = 6

. Ważne, żeby oba pola liczyć w tej samej skali.

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 1. (0–1)

Za 6 kg gruszek zapłacono 27 zł. Ile złotych trzeba zapłacić za 5 kg takich samych gruszek?

zł

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 2. (0–1)

Za 4 kg śliwek zapłacono 24 zł. Ile złotych trzeba zapłacić za 9 kg takich samych śliwek?

zł

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

Na mapie w skali 1 : 200 000 odległość między dwoma miastami jest równa 8 cm. Ile kilometrów wynosi ta odległość w rzeczywistości?

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 4. (0–1)

Na mapie w skali 1 : 50 000 odległość między dwoma miastami jest równa 2 cm. Ile kilometrów wynosi ta odległość w rzeczywistości?

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Uznanie każdej rosnącej zależności za proporcjonalność. Gdy w cenie jest stała opłata, jak w taksówce czy w abonamencie, podwojenie liczby kilometrów nie podwaja ceny. Sprawdź, czy iloraz obu wielkości jest stały.
Odwrócenie proporcji. Jeśli $5$ kg kosztuje $16$ zł, to $10$ kg kosztuje $\frac{16 \cdot 10}{5} ={}$ $32$ zł, a nie $\frac{16 \cdot 5}{10} ={}$ $8$ zł. Więcej towaru musi kosztować więcej.
Błąd przy zamianie jednostek w skali. W skali $1 : 300\,000$ jeden centymetr to $300\,000$ cm, czyli $3\,000$ m, czyli $3$ km, a nie $30$ km. Przy kilometrach skreślasz pięć zer.
Mnożenie pola przez mianownik skali. Kwadrat o boku $3$ cm narysowany w skali $1 : 20$ ma w rzeczywistości bok $60$ cm i pole $3\,600$ cm², a nie $9 \cdot 20 = 180$ cm². Przez skalę mnożysz długości, nie pola.
Podział w stosunku $2 : 3$ jako podział na pół. Kwotę dzielisz na $2 + 3 = 5$ równych części, a nie na dwie równe połowy. Z $120$ zł pierwsza osoba dostaje $48$ zł, a druga $72$ zł.

Do zapamiętania

Wielkości wprost proporcjonalne: $y = a \cdot x$ , iloraz $\frac{y}{x}$ jest stały.
Metoda jednostkowa: najpierw wartość dla jednej jednostki, potem mnożenie przez szukaną ilość.
Proporcja $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ jest prawdziwa wtedy, gdy $a \cdot d = b \cdot c$ .
Podział w stosunku $m : n$ to podział na $m + n$ równych części.
Skala $1 : n$ : odległość w terenie to odległość na mapie razy $n$ .
$1$ m $= 100$ cm, $1$ km $= 100\,000$ cm.

Pytania i odpowiedzi

1.Co to jest proporcjonalność prosta?+
Odp.:To zależność między dwiema wielkościami, w której ich iloraz jest stały, czyli $y = a \cdot x$ . Gdy jedna wielkość rośnie dwa, trzy albo dziesięć razy, druga rośnie tyle samo razy. Przykład: przy cenie $4$ zł za bułkę $3$ bułki kosztują $12$ zł, a $6$ bułek $24$ zł.
2.Jak sprawdzić, czy wielkości są wprost proporcjonalne?+
Odp.:Podziel każdą wartość jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość drugiej. Jeśli wszystkie ilorazy są równe, wielkości są wprost proporcjonalne, a wspólny iloraz to współczynnik proporcjonalności. Na wykresie taka zależność to punkty leżące na jednej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
3.Co oznacza skala 1 : 100 000?+
Odp.:Oznacza, że $1$ cm na mapie odpowiada $100\,000$ cm w terenie, czyli $1\,000$ m, czyli $1$ km. Odcinek o długości $4{,}5$ cm na takiej mapie to w terenie $4{,}5$ km. Im większa liczba po dwukropku, tym bardziej pomniejszony jest teren na mapie.
4.Jak obliczyć odległość w terenie na podstawie skali?+
Odp.:Zmierz lub odczytaj odległość na mapie w centymetrach i pomnóż ją przez liczbę z prawej strony skali. Wynik jest w centymetrach, więc zamień go na metry, dzieląc przez $100$ , albo na kilometry, dzieląc przez $100\,000$ . Na przykład $8$ cm w skali $1 : 4\,000$ to $32\,000$ cm, czyli $320$ m.
5.Co to jest podział proporcjonalny?+
Odp.:To podział jakiejś wielkości na części, które pozostają do siebie w danym stosunku. Aby podzielić $120$ zł w stosunku $2 : 3$ , dzielisz kwotę na $5$ równych części po $24$ zł i dajesz jednej osobie $2$ części, a drugiej $3$ . Podział proporcjonalny jest jednym z wymagań klas VII–VIII.
6.Czym różni się proporcjonalność prosta od odwrotnej?+
Odp.:Przy proporcjonalności prostej stały jest iloraz wielkości: więcej jednej to więcej drugiej. Przy proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn: im więcej osób pracuje, tym krócej trwa praca. Proporcjonalność odwrotna nie należy do wymagań egzaminu ósmoklasisty, poznajesz ją dopiero w liceum.
7.W której klasie jest proporcjonalność prosta?+
Odp.:Skalę mapy i planu poznajesz już w klasach IV–VI, gdy obliczasz rzeczywistą długość odcinka z jego długości w skali i odwrotnie. Proporcjonalność prostą, z jej przykładami, współczynnikiem i podziałem proporcjonalnym, podstawa programowa umieszcza w klasach VII–VIII. Oba te działy sprawdza egzamin ósmoklasisty.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na egzamin ósmoklasisty

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z egzaminu ósmoklasisty 2026 w 125 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i tematy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Proporcjonalność prosta i skala

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Sprawdź, czy to proporcjonalność

2.Oblicz wartość dla jednej jednostki

3.Pomnóż przez szukaną ilość

4.Przy skali licz w centymetrach

5.Sprawdź sens wyniku

Przykłady

1.Cena za kilka kilogramów

2.Czy wielkości w tabeli są wprost proporcjonalne?

3.Podział proporcjonalny

4.Skala mapy w obie strony

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła