Parabool en abc-formule: kwadratische vergelijkingen oplossen, ontbinden en de top
Een kwadratische vergelijking los je op door te ontbinden in factoren of met de abc-formule. Dezelfde technieken heb je nodig voor de nulpunten van een parabool, voor de snijpunten van een lijn en een parabool, voor kwadratische ongelijkheden en voor de top. Deze pagina zet de methoden op een rij en laat zien hoe je exact blijft rekenen, als voorbereiding op het centraal examen wiskunde B.
Centraal examen havo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; vwo wiskunde B: in alle 5 examens.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde B havo
Subdomein B2 Vergelijkingen en ongelijkheden, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: het begrip stelsel van vergelijkingen; de abc-formule.
Subdomein B2 Vergelijkingen en ongelijkheden, specificatie 2een vergelijking oplossen die te herleiden is tot een kwadratische vergelijking;
Subdomein B1 Standaardfuncties, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de grafiek en karakteristieke eigenschappen van de kwadratische of tweedegraadsfunctie f(x) = ax² + bx + c of f(x) = a(x – p)(x – q) of f(x) = a(x – r)² + s evenals de naam parabool voor de grafiek ervan;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax2+bx+c=0 met a=0. De grafiek van f(x)=ax2+bx+c is een parabool: een dalparabool als a>0, een bergparabool als a<0.
De abc-formule geeft de oplossingen: eerst de discriminant D=b2−4ac, dan x=2a−b+D of x=2a−b−D. Bij D>0 zijn er twee oplossingen, bij D=0 één en bij D<0 geen.
Ontbinden in factoren is korter als het kan: bij x2+bx+c=0 zoek je twee getallen met som b en product c, dus (x+p)(x+q)=0 met p+q=b en p⋅q=c. Ook kwadraat afsplitsen, x2+px+q=(x+r)2+s, hoort bij de algebraïsche vaardigheden.
De top van de parabool ligt midden tussen de nulpunten, op xT=−2ab. Reken yT uit door xT in de formule in te vullen.
Snijpunten van twee grafieken vind je uit f(x)=g(x). Breng alles naar één kant tot een vergelijking van de vorm ax2+bx+c=0, los die op en bereken de y-coördinaten daarna met een van de twee formules.
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Herleid tot nul
Zet alle termen aan één kant, zodat er ax2+bx+c=0 staat. Schrijf a,b en c op, met hun tekens.
2.Kies een methode
Zie je twee getallen met som b en product c (bij a=1)? Ontbind dan. Lukt dat niet snel, gebruik dan de abc-formule.
3.Bereken de discriminant
Bepaal D=b2−4ac en kijk naar het teken: bij D<0 ben je klaar, want er zijn geen oplossingen.
4.Vul de abc-formule in
Zet de teller tussen haakjes en deel hem helemaal door 2a. Vereenvoudig de wortel als het kan en laat bij ‘exact’ de wortel staan.
5.Beantwoord de vraag
Reken zo nodig de y-coördinaten uit, controleer de oplossingen in de context (een tijd kan niet negatief zijn) en rond alleen af als de vraag dat vraagt.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Exact oplossen met de abc-formule
Los exact op: 2x2−5x−4=0.
Hier is a=2,b=−5 en c=−4. Invullen geeft D=(−5)2−4⋅2⋅(−4), dus D=57.
Omdat D>0 zijn er twee oplossingen. Met −b=5 geeft de abc-formule x=45+57 of x=45−57.
Antwoord: x=45−57 of x=45+57, ongeveer −0,64 en 3,14.
2.Snijpunten van een lijn en een parabool
Gegeven zijn f(x)=x2−3x+1 en g(x)=2x−5. Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.
Los f(x)=g(x) op: x2−3x+1=2x−5 geeft x2−5x+6=0.
Ontbinden kan: zoek twee getallen met som −5 en product 6. Dat zijn −2 en −3, dus (x−2)(x−3)=0 en x=2 of x=3.
Vul in de formule van g in: g(2)=−1 en g(3)=1. Controle met f:f(2)=−1 en f(3)=1.
Antwoord: de snijpunten zijn (2,−1) en (3,1).
3.Een kwadratische ongelijkheid
Los op: −x2+4x+5>0. Geef je antwoord als interval.
Los eerst de bijbehorende vergelijking op: −x2+4x+5=0 geeft x2−4x−5=0, dus (x−5)(x+1)=0 en x=5 of x=−1.
De coëfficiënt van x2 is negatief: de grafiek is een bergparabool. Die ligt boven de x-as tussen de twee nulpunten.
Antwoord: −1<x<5, dus het interval ⟨−1,5⟩.
4.De top en het nulpunt in een context
Een bal wordt vanaf 1,5 m hoogte omhoog geschoten. De hoogte in meter na t seconden is h(t)=−5t2+20t+1,5. Bereken de grootste hoogte van de bal en het moment waarop hij de grond raakt. Geef de tijd in één decimaal.
De top ligt bij t=−2⋅(−5)20=2. De grootste hoogte is h(2)=−20+40+1,5=21,5.
De bal raakt de grond als h(t)=0. Dan is D=202−4⋅(−5)⋅1,5, dus D=430.
Dus t=−10−20±430, ongeveer t=−0,07 of t=4,07. Een negatieve tijd past niet bij de situatie.
Antwoord: de grootste hoogte is 21,5 m en de bal raakt de grond na ongeveer 4,1 s.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo B
Hoeken
De cirkel c met middelpunt M is gegeven door de vergelijking:
x2+y2−10x−6y=135
De lijn k heeft vergelijking y=−2x.
De lijn l is de lijn door de punten O en M. Zie figuur 1.
figuur 1Bron: CvTE — Examenblad.nlLijn k snijdt het deel van de cirkel boven de x-as in het punt P. Het punt Q(0,15) is het snijpunt van c met de positieve y-as. Zie figuur 2.
figuur 2Bron: CvTE — Examenblad.nlIn figuur 2 is de hoek aangegeven die de lijn door P en Q met de x-as maakt.
Vraag 2
Bereken algebraïsch deze hoek in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.
Punt P ligt op de lijn k, dus y=−2x. Vul dat in de vergelijking van de cirkel x2+y2−10x−6y=135 in. Met y=−2x wordt −6y gelijk aan 12x en y2 gelijk aan 4x2.
Herleid tot nul: 5x2+2x−135=0. Met a=5,b=2 en c=−135 is D=22−4⋅5⋅(−135), dus D=2704 en D=52.
De abc-formule geeft x=10−2±52, dus x=5 of x=−552. Punt P ligt boven de x-as, dus yP=−2xP is positief en xP negatief: xP=−552 en yP=1054.
De lijn door P en Q(0,15) heeft richtingscoëfficiënt −552−01054−15=97. Dit is de tangens van de gevraagde hoek, dus de hoek is tan−1(97)≈37,9∘.
Antwoord: de hoek is 38°.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde B vwo
Bij wiskunde B vwo staat de abc-formule, net als bij havo B, onder de parate kennis: je moet hem zelf kennen (subdomein B5). De syllabus noemt als vaardigheid een vergelijking oplossen die te herleiden is tot een kwadratische vergelijking. Dat kan ook een vergelijking met e-machten zijn, zoals e2x−8ex+15=0.
Schrijf u=ex: dan is u2−8u+15=0, dus (u−3)(u−5)=0 en u=3 of u=5. Uit ex=u volgt x=ln(3) of x=ln(5). Een oplossing met u≤0 zou je moeten verwerpen, want ex is altijd positief.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo B
Vraag 1.
Gegeven is de functie f met f(x)=−x2+9x+12.
Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as.
Typ een wortel als sqrt(…) of met √.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 2.
Gegeven zijn de functies f(x)=x2−4x−5 en g(x)=−3x−3.
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 3.
Gegeven is de ongelijkheid 2x2−3x−9>0.
Welke van de volgende is de oplossing van deze ongelijkheid?
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 4.
Gegeven is de functie f met f(x)=−4x2−4x−4.
Bereken exact de coördinaten van de top van de grafiek van f.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo B
Vraag 5.
Los exact op: e2x−11ex+18=0.
Geef de kleinste en de grootste oplossing. Typ de natuurlijke logaritme als ln(…).
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
Het teken van b verkeerd overnemen. Bij x2−6x+4=0 is b=−6, dus −b=6 en b2=36.
Alleen de wortel door 2a delen. De hele teller, −b±D, deel je door 2a.
Beginnen met invullen zonder eerst tot nul te herleiden. Bij x2+3x=2x+6 lees je c niet af voordat alles aan één kant staat.
Bij een kwadratische ongelijkheid alleen de nulpunten geven. Schets de parabool of maak een tekenschema en kijk welk deel boven of onder de x-as ligt.
Een benadering opschrijven als ‘exact’ gevraagd wordt. Een antwoord als 2,34 is dan fout; laat de wortel staan.
Onthoud
Discriminant: D=b2−4ac.
Oplossingen: x=2a−b±D, alleen als D≥0.
Top: xT=−2ab, daarna yT=f(xT).
Bij ‘exact’ laat je wortels staan; bij ‘algebraïsch’ gebruik je geen specifieke opties van de grafische rekenmachine.
Veelgestelde vragen
1.Wat is de abc-formule en wanneer gebruik ik hem?+
Antwoord:De abc-formule lost elke kwadratische vergelijking ax2+bx+c=0 op. Je berekent eerst de discriminant D=b2−4ac en daarna x=2a−b±D. Gebruik hem als ontbinden niet snel lukt, bijvoorbeeld als de oplossingen wortels bevatten. Voor wiskunde B havo en vwo hoort hij bij de parate kennis, dus je moet hem uit je hoofd kennen.
2.Wanneer kan ik beter ontbinden dan de abc-formule gebruiken?+
Antwoord:Ontbinden werkt snel bij x2+bx+c=0 als er twee gehele getallen zijn met som b en product c. Zo geeft x2−5x+6=0 de factoren (x−2)(x−3). Zie je dat niet, dan kost zoeken meer tijd dan de abc-formule. Ook bij ‘exact’ werkt de abc-formule altijd, want de wortel blijft gewoon staan.
3.Wat betekent het als de discriminant negatief is?+
Antwoord:Dan staat er onder het wortelteken een negatief getal en bestaat de wortel niet. De vergelijking heeft geen oplossingen, en de parabool snijdt de x-as niet. Is de discriminant precies nul, dan is er één oplossing en raakt de parabool de x-as in de top.
4.Hoe vind ik de top van een parabool?+
Antwoord:De top ligt op de symmetrie-as, midden tussen de nulpunten. Voor f(x)=ax2+bx+c is dat xT=−2ab. Vul die waarde in de formule in voor de y-coördinaat. Bij een dalparabool is de top het laagste punt, bij een bergparabool het hoogste.
5.Wat is het verschil tussen ‘algebraïsch’ en ‘exact’?+
Antwoord:De examenwerkwoorden gelden alleen voor wiskunde B. Bij ‘algebraïsch’ gebruik je geen specifieke opties van de grafische rekenmachine, maar mogen tussenantwoorden en eindantwoord benaderd zijn. Bij ‘exact’ gebruik je die opties ook niet, en mogen de antwoorden niet benaderd worden: je schrijft 45+57 en niet 3,14.
6.Mag ik de grafische rekenmachine gebruiken om een kwadratische vergelijking op te lossen?+
Antwoord:De syllabus zegt: tenzij anders aangegeven, is de wijze waarop het antwoord gevonden wordt vrij. Staat er ‘algebraïsch’ of ‘exact’ in de vraag, dan werk je zonder specifieke opties van de grafische rekenmachine. Schrijf in elk geval op welke vergelijking je oplost.