Sinus, cosinus en tangens: hoeken en zijden berekenen in een rechthoekige driehoek
Met sinus, cosinus en tangens reken je in een rechthoekige driehoek een hoek uit als je twee zijden kent, of een zijde als je een hoek en een zijde kent. Je gebruikt ze voor een hellingshoek, een kabel, een dakhelling of de hoogte van een gebouw. Deze pagina zet het op een rij voor het centraal examen, met SOS CAS TOA, voorbeelden en een vraag uit een echt examen.
Centraal examen vmbo wiskunde: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; havo wiskunde B: in 3 van de 5; vwo wiskunde B: in één van de 5.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde vmbo
WI/K/6 WI/V/1 Meetkunde, specificatie 3redeneren en tekenen: bij redeneren, tekenen en berekenen van hoeken en afstanden en patronen, gebruik maken van meetkundige begrippen en eigenschappen, in het bijzonder: evenwijdigheid; gelijke verhoudingen, waaronder rekenen met vergrotingen en verkleiningen; ook in ruimtelijke situaties; lijnsymmetrie; draaisymmetrie; regelmatige patronen; eigenschappen van hoeken; goniometrische verhoudingen sinus, cosinus en tangens; de stelling van Pythagoras; gebruik maken van instrumenten en apparaten, in het bijzonder: liniaal, gradenboog, rechthoekige driehoek, passer, zelfgemaakt gereedschap, rekenmachine en computer
WI/K/6 WI/V/1 Meetkunde, specificatie 2schatten, meten en berekenen: schattingen en metingen doen van hoeken, lengten, oppervlakten en inhouden van objecten in de ruimte; grootte van hoeken en afstanden in 2- en 3-dimensionale figuren berekenen; oppervlakte en omtrek berekenen van driehoek, rechthoek en figuren die daaruit samengesteld zijn, zoals een parallellogram; omtrek en oppervlakte van een cirkel berekenen met behulp van gegeven formules; inhoud van kubus en balk berekenen; inhoud van prisma, kegel, piramide, bol en cilinder berekenen met behulp van gegeven formules
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein C1 Afstanden en hoeken in concrete situatiesDe kandidaat kan afstanden en hoeken berekenen met behulp van goniometrische verhoudingen, de stelling van Pythagoras en de sinus- en cosinusregel.
Subdomein C1 Afstanden en hoeken in concrete situaties, specificatie 1sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het berekenen van de grootte van hoeken en de lengte van zijden in een rechthoekige driehoek;
Gevraagd in 3 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein E1 Meetkundige vaardighedenDe kandidaat kan meetkundige eigenschappen van objecten onderzoeken en bewijzen en kan daarbij gebruik maken van meetkundige en algebraïsche technieken en van ICT.
Subdomein E1 Meetkundige vaardigheden, specificatie 3sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het berekenen van de grootte van hoeken en de lengte van zijden in een rechthoekige driehoek;
Gevraagd in één van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
In een rechthoekige driehoek heet bij een hoek α (niet de rechte hoek) de zijde tegenover α de overstaande zijde, de zijde naast α die niet de schuine zijde is de aanliggende zijde, en de zijde tegenover de rechte hoek de schuine zijde.
De drie verhoudingen zijn sin(α)=SO,cos(α)=SA en tan(α)=AO, met O de overstaande, A de aanliggende en S de schuine zijde. Onthoud ze met SOS CAS TOA: Sinus is Overstaande door Schuine, Cosinus is Aanliggende door Schuine, Tangens is Overstaande door Aanliggende.
Een zijde berekenen: vul de hoek in een van de drie verhoudingen in, en los de vergelijking op voor de zijde. Een hoek berekenen: kies de verhouding bij de twee bekende zijden en gebruik sin−1,cos−1 of tan−1 op je rekenmachine. Zet je rekenmachine daarvoor op graden.
Bij een helling is tan(α)=hv, met v de verticale stijging en h de horizontale afstand. Het hellingspercentage is hv als percentage: bij een hellingspercentage van p% is tan(α)=100p.
De drie hoeken van een driehoek hebben samen 180∘, dus in een rechthoekige driehoek zijn de twee scherpe hoeken samen 90∘. Een gelijkbenige driehoek deel je met de hoogtelijn in twee rechthoekige driehoeken.
Het centraal examen wiskunde vmbo gl/tl duurt 120 minuten en is op papier. Je gebruikt een rekenmachine zonder grafieken; in het examen staat een overzicht met formules.
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Zoek of maak de rechthoekige driehoek
Zoek de rechte hoek. Zit die er niet in, teken dan een hoogtelijn of een horizontale en een verticale lijn, zodat er wel een rechthoekige driehoek ontstaat.
2.Benoem de zijden bij de hoek
Kies de hoek waar het om gaat, en noem de zijden overstaande, aanliggende en schuine zijde ten opzichte van die hoek. De schuine zijde ligt altijd tegenover de rechte hoek.
3.Kies sinus, cosinus of tangens
Kijk welke twee zijden (of hoek en zijde) bekend en gevraagd zijn en kies de verhouding die ze alle drie bevat. Gebruik SOS CAS TOA.
4.Schrijf de vergelijking op en los op
Is een zijde gevraagd, vul dan de hoek in en los de vergelijking op. Is een hoek gevraagd, bereken dan de verhouding en neem de inverse: sin−1,cos−1 of tan−1.
5.Rond af en controleer
Rond af zoals de vraag zegt en zet de eenheid erbij. Controleer of de schuine zijde de langste zijde is en of een hoek tussen 0∘ en 90∘ ligt.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Een zijde met de cosinus
Een ladder van 5,5 m lang staat onder een hoek van 72∘ met de grond tegen een muur. Bereken hoe ver de voet van de ladder van de muur staat. Geef je antwoord in één decimaal.
De ladder is de schuine zijde (5,5 m). De afstand tot de muur ligt langs de grond, naast de hoek van 72∘: dat is de aanliggende zijde A. Aanliggende en schuine zijde horen bij de cosinus.
cos(72∘)=5,5A, dus A=5,5×cos(72∘)≈1,70.
Antwoord: de voet van de ladder staat ongeveer 1,7 m van de muur.
2.Een hoek met de tangens
De nok van een dak ligt 2,4 m hoger dan de dakgoot. Horizontaal gemeten is de afstand van de dakgoot tot de nok 4,0 m. Bereken de hoek die het dakvlak met de horizontale lijn maakt. Geef je antwoord in één decimaal.
De stijging (2,4 m) is de overstaande zijde van de gevraagde hoek α, de horizontale afstand (4,0 m) is de aanliggende zijde. Overstaande en aanliggende zijde horen bij de tangens.
tan(α)=4,02,4=0,6, dus α=tan−1(0,6)≈30,96∘.
Antwoord: het dakvlak maakt een hoek van ongeveer 31,0° met de horizontale lijn.
3.Een hoek met de sinus
Een glijbaan is 3,5 m lang en begint op een hoogte van 1,2 m boven de grond. Bereken de hoek die de glijbaan met de grond maakt. Geef je antwoord in één decimaal.
De glijbaan is de schuine zijde (3,5 m) en de hoogte (1,2 m) is de overstaande zijde van de gevraagde hoek α. Overstaande en schuine zijde horen bij de sinus.
sin(α)=3,51,2≈0,3429, dus α=sin−1(3,51,2)≈20,05∘.
Antwoord: de glijbaan maakt een hoek van ongeveer 20,1° met de grond.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenvmbo
Hovenring
Kleksa: hier staat in het examen een foto van de Hovenring (niet overgenomen).
De Hovenring is een zwevende fietsrotonde bij Eindhoven.
De Hovenring hangt aan 24 kabels. De kabels zijn bevestigd aan de binnenste rand van het fietspad en aan een 70 m hoge paal. De kabels zijn 55 m lang. Zie de tekening.Bron: CvTE — Examenblad.nl
Vraag 5
Bereken de hoek die de kabel maakt met het fietspad. Schrijf je berekening op.
Neem de hoek α tussen de kabel en de horizontale lijn door het fietspad aan de kant van de paal. De kabel, de paal en de horizontale lijn vormen een rechthoekige driehoek. De kabel is de schuine zijde (55 m) en het stuk paal van het bevestigingspunt van de kabel tot de hoogte van het fietspad is de overstaande zijde van α (45 m).
sin(α)=5545, dus α=sin−1(5545)≈54,9∘.
De gevraagde hoek ligt aan de andere kant van de kabel, aan de kant die van de paal af ligt. De twee hoeken liggen samen op een rechte lijn, het fietspad, en zijn dus samen 180∘:180∘−54,9∘≈125,1∘.
Antwoord: de kabel maakt een hoek van ongeveer 125° met het fietspad.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde B havo
Bij wiskunde B havo staat dit in subdomein C1 Afstanden en hoeken in concrete situaties: ‘sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het berekenen van de grootte van hoeken en de lengte van zijden in een rechthoekige driehoek’. Je werkt met de grafische rekenmachine in de examenstand, in graden. Een hoek kan ook uit een richtingscoëfficiënt komen: een lijn met richtingscoëfficiënt a maakt met de x-as een hoek α waarvoor tan(α)=a. Zit er geen rechte hoek in de driehoek, dan gebruik je de sinusregel of de cosinusregel; die staan op hun eigen pagina.
Wiskunde B vwo
Bij wiskunde B vwo staat dit in subdomein E1 Meetkundige vaardigheden, met dezelfde formulering als bij havo B: ‘sinus, cosinus en tangens gebruiken voor het berekenen van de grootte van hoeken en de lengte van zijden in een rechthoekige driehoek’. In een assenstelsel vind je de hoek van een lijn met de x-as uit de richtingscoëfficiënt m van y=mx+n:tan(α)=m. De hoek tussen twee lijnen is het verschil van hun twee hoeken met de x-as; is dat verschil groter dan 90∘, dan is de hoek tussen de lijnen 180∘ min dat verschil. Vraagt een opgave om een exacte waarde, dan reken je met de exacte waarden die je kent, zoals sin(30∘)=21, en rond je niet af.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
vmbo
Vraag 1.
In driehoek ABC is hoek C recht en hoek A=57∘. Verder is AC=14,5 cm. Zie de figuur.
Bereken de lengte van BC. Geef je antwoord in één decimaal.
cm
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vmbo
Vraag 2.
Een bergweg in Oostenrijk heeft een hellingspercentage van 18%. Dat betekent dat de weg 18 m stijgt per 100 m die je horizontaal aflegt.
Bereken de hoek tussen de weg en de horizontale lijn, in één decimaal. Bereken ook hoeveel meter de weg stijgt over een horizontale afstand van 1500 m.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vmbo
Vraag 3.
In driehoek ABC is hoek C recht. Verder is AC=10 cm en BC=8,5 cm. Zie de figuur.
Bereken hoek A. Geef je antwoord in één decimaal.
°
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 4.
Je staat in punt A op vlak terrein en ziet de top T van een hoge boom onder een hoek α=15∘ met de grond. Je loopt 70 meter recht naar de boom toe, naar punt B. Vanaf B zie je de top onder een hoek β=57∘. Je ooghoogte mag je verwaarlozen.
Bereken de hoogte van de boom. Geef je antwoord in één decimaal.
m
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
De verkeerde zijde als overstaande of aanliggende nemen. Overstaand en aanliggend hangen af van de hoek waar het om gaat: bij de andere scherpe hoek wisselen de twee zijden van rol.
De rekenmachine op de verkeerde stand laten staan. Staat hij niet op graden, dan geeft sin(30) niet 0,5. Controleer dat altijd met een hoek waarvan je de uitkomst weet.
De verhouding omdraaien. sin(α)=SO is nooit groter dan 1; krijg je een sinus of cosinus boven 1, dan heb je de zijden verwisseld.
De inverse vergeten. Heb je tan(α)=0,6, dan is 0,6 nog niet de hoek: pas tan−1 toe op 0,6.
Het hellingspercentage als hoek in graden lezen. Een helling van p% is geen hoek van p graden: tan(α)=100p.
Onthoud
SOS CAS TOA: sin(α)=SO,cos(α)=SA,tan(α)=AO.
Een hoek berekenen: sin−1,cos−1 of tan−1 van de verhouding.
Een helling: tan(α)=hv; hellingspercentage p% hoort bij tan(α)=100p.
De twee scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek zijn samen 90∘.
Veelgestelde vragen
1.Wat betekent SOS CAS TOA?+
Antwoord:Het is een ezelsbruggetje voor de drie verhoudingen in een rechthoekige driehoek: Sinus is Overstaande door Schuine, Cosinus is Aanliggende door Schuine, Tangens is Overstaande door Aanliggende. Je schrijft bij een opgave eerst op welke zijden bekend en gevraagd zijn, en kiest dan de letters die bij die zijden horen.
2.Hoe weet ik welke zijde de overstaande en welke de aanliggende is?+
Antwoord:Dat hangt af van de hoek waar je mee rekent. De overstaande zijde ligt recht tegenover die hoek, de aanliggende zijde ligt naast die hoek en is niet de schuine zijde. De schuine zijde is altijd de zijde tegenover de rechte hoek. Teken de hoek met een boogje in de figuur, dan zie je het meteen.
3.Wanneer gebruik ik de stelling van Pythagoras en wanneer sinus, cosinus of tangens?+
Antwoord:Weet je twee zijden en zoek je de derde, dan gebruik je de stelling van Pythagoras. Zoek je een hoek, of ken je een hoek en zoek je een zijde, dan gebruik je sinus, cosinus of tangens. Soms heb je beide nodig, bijvoorbeeld eerst een zijde met Pythagoras en dan een hoek met een verhouding.
4.Hoe bereken ik een hoek als ik de zijden ken?+
Antwoord:Bereken eerst de verhouding van de twee zijden die je kent, bijvoorbeeld overstaande door aanliggende voor de tangens. Neem daarna de inverse: tan−1 van die uitkomst geeft de hoek. Voor een sinus gebruik je sin−1 en voor een cosinus cos−1. Staat je rekenmachine op graden, dan is de uitkomst een hoek in graden.
5.Wat is een hellingspercentage?+
Antwoord:Het hellingspercentage zegt hoeveel meter een weg of spoor stijgt per 100 meter horizontaal. Bij een hellingspercentage van p% is de tangens van de hellingshoek 100p. De hoek zelf vind je met tan−1 van dat getal. De hellingshoek in graden en het hellingspercentage zijn dus twee verschillende getallen.
6.Wat als er geen rechte hoek in de figuur zit?+
Antwoord:Maak er dan een. Bij een gelijkbenige driehoek deelt de hoogtelijn de driehoek in twee gelijke rechthoekige driehoeken; bij een rechthoek of vierkant is de diagonaal de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. Kun je geen rechte hoek maken, dan heb je een andere methode nodig dan alleen SOS CAS TOA.