Sinusregel en cosinusregel: zijden en hoeken berekenen in een willekeurige driehoek
In een driehoek zonder rechte hoek rekenen sinus, cosinus en tangens niet rechtstreeks. Daarvoor zijn de sinusregel en de cosinusregel: met drie gegevens van de driehoek vind je een ontbrekende zijde of hoek. Deze pagina laat zien wanneer je welke regel kiest, hoe je een stompe hoek herkent, en zet het op een rij voor het centraal examen, met voorbeelden en een vraag uit een echt examen.
Centraal examen havo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; vwo wiskunde B: in één van de 5.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde B havo
Subdomein C1 Afstanden en hoeken in concrete situatiesDe kandidaat kan afstanden en hoeken berekenen met behulp van goniometrische verhoudingen, de stelling van Pythagoras en de sinus- en cosinusregel.
Subdomein C1 Afstanden en hoeken in concrete situaties, specificatie 3de sinus- en cosinusregel gebruiken voor het berekenen van de lengte van lijnstukken en de grootte van hoeken in een driehoek;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein E1 Meetkundige vaardighedenDe kandidaat kan meetkundige eigenschappen van objecten onderzoeken en bewijzen en kan daarbij gebruik maken van meetkundige en algebraïsche technieken en van ICT.
Subdomein E1 Meetkundige vaardigheden, specificatie 4de sinus- en cosinusregel gebruiken voor het berekenen van de lengte van lijnstukken en de grootte van hoeken in een driehoek;
Gevraagd in één van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
In driehoek ABC noem je de hoeken α,β en γ en de zijden tegenover die hoeken a,b en c. De hoekpunten heten A,B en C.
De sinusregel zegt dat de verhouding van een zijde en de sinus van de overstaande hoek in de hele driehoek gelijk is: sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c. Gebruik de sinusregel als je een zijde met de hoek ertegenover kent (een paar), en nog één zijde of hoek van de driehoek.
De cosinusregel is c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos(γ), met γ de hoek tegenover c en tussen a en b. Gebruik hem als je twee zijden en de ingesloten hoek kent (voor de derde zijde), of alle drie de zijden (voor een hoek).
Een hoek uit de cosinusregel: cos(γ)=2⋅a⋅ba2+b2−c2 en dan γ=cos−1(…). Is de uitkomst negatief, dan is de hoek stomp. De cosinusregel met γ=90∘ is de stelling van Pythagoras.
De sinus van een hoek en van zijn supplement zijn gelijk: sin(180∘−α)=sin(α). Daarom geeft sin−1 in de sinusregel alleen de scherpe hoek. Kan de hoek ook stomp zijn, dan is 180∘ min die scherpe hoek de andere mogelijkheid.
De hoeken van een driehoek zijn samen 180∘. Een formule die de syllabus niet noemt, maar die je zelf afleidt: heb je twee zijden en de ingesloten hoek, dan is de hoogte op a gelijk aan b⋅sin(γ), en de oppervlakte van de driehoek dus 21⋅a⋅b⋅sin(γ).
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Maak een schets met alle gegevens
Teken de driehoek, noem de hoeken en de zijden tegenover die hoeken, en schrijf de bekende getallen erbij. Zit de driehoek in een samengestelde figuur, deel de figuur dan op met een diagonaal.
2.Kies de regel
Heb je een zijde en de hoek er tegenover, kies dan de sinusregel. Heb je twee zijden en de ingesloten hoek, of drie zijden, kies dan de cosinusregel. Heb je twee hoeken, bereken dan eerst de derde met 180∘.
3.Schrijf de regel op met de gegevens
Vul de bekende getallen in en laat de onbekende staan. Bij de cosinusregel staat de onbekende zijde of de hoek links of in de cosinus.
4.Los de vergelijking op
Bij een onbekende zijde in de sinusregel los je een gewone vergelijking op. Staat de onbekende zijde in een kwadraat en ook als term, dan krijg je een kwadratische vergelijking: los die op met de abc-formule of met de grafische rekenmachine.
5.Controleer en rond af
Rond af zoals de vraag zegt. Controleer dat de grootste zijde tegenover de grootste hoek ligt, en bij de sinusregel of een stompe hoek ook past.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Een zijde met de cosinusregel
Twee wandelpaden vertrekken vanuit hetzelfde punt P. Het ene pad is 120 m lang, het andere 85 m, en de paden maken een hoek van 48∘ met elkaar. Bereken de afstand tussen de twee eindpunten. Geef je antwoord in één decimaal.
De hoek van 48∘ ligt tussen de twee bekende zijden: de cosinusregel past. De gevraagde afstand d ligt tegenover die hoek.
d2=1202+852−2⋅120⋅85⋅cos(48∘)
Dat is d2=21625−13650,26, dus d2=7974,74.
Dan is d=7974,74≈89,30.
Antwoord: de eindpunten liggen ongeveer 89,3 m van elkaar.
2.Een zijde met de sinusregel
In driehoek ABC is ∠A=52∘,∠B=71∘ en BC=6,4. Bereken de lengte van AC. Geef je antwoord in één decimaal.
De gevraagde zijde AC ligt tegenover hoek B, en de bekende zijde BC tegenover hoek A: dat is een paar. Gebruik de sinusregel.
sin(71∘)AC=sin(52∘)6,4, dus AC=sin(52∘)6,4⋅sin(71∘)≈7,68.
Antwoord: AC is ongeveer 7,7 lang.
3.Een stompe hoek met de cosinusregel
Een driehoek heeft zijden van 6, 9 en 12. Bereken de grootste hoek van de driehoek. Geef je antwoord in één decimaal.
De grootste hoek ligt tegenover de grootste zijde, 12. Noem die hoek γ; de cosinusregel geeft cos(γ)=2⋅6⋅962+92−122.
Dat is cos(γ)=10836+81−144=−0,25. De cosinus is negatief, dus de hoek is stomp.
Antwoord: γ=cos−1(−0,25)≈104,5∘.
4.Scherp of stomp: twee mogelijke driehoeken
In driehoek ABC is BC=9,AC=11 en ∠A=40∘. Bereken beide mogelijke groottes van ∠B. Geef je antwoorden in één decimaal.
De zijde BC ligt tegenover hoek A, de zijde AC tegenover hoek B: een paar, dus de sinusregel. 11sin(β)=9sin(40∘), dus sin(β)=911⋅sin(40∘)≈0,7856.
De scherpe hoek is sin−1(0,7856)≈51,8∘. Omdat sin(180∘−β)=sin(β) is ook 180∘−51,8∘=128,2∘ mogelijk.
Beide kunnen: 40∘+128,2∘ is kleiner dan 180∘. De zijde BC van 9 is korter dan AC van 11 en langer dan de afstand van C tot de lijn AB, dus er zijn twee driehoeken.
Antwoord: ∠B is ongeveer 51,8∘ of 128,2∘.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo B
Gelijkvormige driehoeken
Gegeven zijn de gelijkvormige driehoeken ABS en CDS. De zijden AB en CD zijn evenwijdig. Het punt S is het snijpunt van de lijnstukken AC en BD.
Het punt E ligt op het lijnstuk AB en het punt F ligt op het lijnstuk AS zodanig dat het lijnstuk EF evenwijdig is met het lijnstuk BS.
Verder geldt dat BS=11,DS=4,CD=5,EB=2 en ∠CSD=60∘.
Zie de figuur.
figuurBron: CvTE — Examenblad.nl
Vraag 14
Bereken de lengte van het lijnstuk AF. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Driehoek ABS is gelijkvormig met driehoek CDS, en AB is evenwijdig met CD. Dus CDAB=DSBS, oftewel 5AB=411. Dat geeft AB=13,75.
Omdat EF evenwijdig is met BS, is driehoek AEF gelijkvormig met driehoek ABS. Er geldt AE=AB−EB, dus AE=13,75−2=11,75. Verder is BSEF=ABAE, oftewel 11EF=13,7511,75. Dat geeft EF=9,4.
De hoek bij F in driehoek AEF is even groot als hoek ASB (F-hoeken bij evenwijdige lijnen), en die is weer even groot als hoek CSD (overstaande hoeken): 60∘. In driehoek AEF ligt AE tegenover die hoek. De cosinusregel geeft:
11,752=9,42+AF2−2⋅9,4⋅AF⋅cos(60∘)
Met cos(60∘)=0,5 staat er AF2−9,4⋅AF=49,7025. Los die kwadratische vergelijking op met de abc-formule of met de grafische rekenmachine; de positieve oplossing is AF≈13,17.
Antwoord: de lengte van AF is ongeveer 13,2.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde B vwo
Bij wiskunde B vwo staat dit in subdomein E1 Meetkundige vaardigheden: ‘de sinus- en cosinusregel gebruiken voor het berekenen van de lengte van lijnstukken en de grootte van hoeken in een driehoek’. Dat is dezelfde tekst als bij havo B. De driehoek kan in een figuur met coördinaten of in een samengestelde figuur zitten, en de opdracht kan om een exacte waarde vragen. Dan gebruik je de exacte waarden van sinus en cosinus die je zonder rekenmachine kent. Zo is cos(60∘)=21 en dus c2=a2+b2−a⋅b als γ=60∘.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo B
Vraag 1.
Gegeven is driehoek ABC. Er geldt AB=8 cm, AC=7 cm en ∠A=101∘.
Bereken de lengte van BC. Geef je antwoord in één decimaal.
cm
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 2.
Gegeven is driehoek ABC met AB=7,BC=13 en AC=13.
Bereken ∠B. Geef je antwoord in gehele graden.
°
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 3.
Van driehoek ABC is gegeven: AB=11,BC=6,1 en ∠A=30∘. Bovendien is ∠C stomp.
Bereken de lengte van AC. Geef je antwoord in één decimaal.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 4.
Van vierhoek ABCD is gegeven: AB=4,7,BC=9,∠B=80∘,CD=7 en DA=10.
Bereken ∠D. Geef je antwoord in gehele graden.
°
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
De hoek kiezen die er niet tegenover ligt. In de sinusregel hoort bij elke zijde de hoek tegenover die zijde; in de cosinusregel staat de hoek tegenover de zijde die je links van het is-teken hebt.
De verkeerde hoek in de cosinusregel zetten. De hoek in de cosinusregel ligt tegenover de zijde links van het is-teken. Heb je twee zijden en een hoek die niet tussen die zijden ligt, dan kom je met de sinusregel het snelst verder; met de cosinusregel krijg je dan een kwadratische vergelijking.
De stompe hoek vergeten. De uitkomst van sin−1 is altijd scherp. Past de figuur of de gegeven hoek bij een stompe hoek, neem dan 180∘ min die scherpe hoek.
Het laatste deel van de cosinusregel verkeerd rekenen. Bereken eerst het product 2⋅a⋅b⋅cos(γ) en trek dat getal dan af van a2+b2; trek niet eerst 2ab af van a2+b2.
Tussentijds afronden. Een afgerond tussenresultaat kan het eindantwoord verschuiven; werk met de volledige waarden uit je grafische rekenmachine.
Onthoud
Sinusregel: sin(α)a=sin(β)b: zijde door sinus van de overstaande hoek.
Cosinusregel: c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos(γ).
Twee zijden en de ingesloten hoek, of drie zijden: cosinusregel. Een paar: sinusregel.
Oppervlakte, niet uit de syllabus maar af te leiden: 21⋅a⋅b⋅sin(γ) met γ de ingesloten hoek.
Negatieve cosinus: stompe hoek. Bij een sinus: 180∘−α is ook mogelijk.
Veelgestelde vragen
1.Wanneer gebruik ik de sinusregel en wanneer de cosinusregel?+
Antwoord:Heb je een zijde en de hoek er tegenover, plus nog één zijde of hoek, dan gebruik je de sinusregel. Heb je twee zijden en de hoek ertussen, of alle drie de zijden, dan gebruik je de cosinusregel. Bij twee hoeken en een zijde bereken je eerst de derde hoek met de som van 180∘.
2.Hoe herken ik een stompe hoek bij de cosinusregel?+
Antwoord:Bereken cos(γ) uit de drie zijden. Is de uitkomst negatief, dan is de hoek stomp; is ze positief, dan is de hoek scherp. Je rekenmachine geeft met cos−1 daarna meteen de juiste hoek tussen 0∘ en 180∘, zonder dat je iets hoeft te corrigeren.
3.Waarom geeft de sinusregel soms twee antwoorden?+
Antwoord:Omdat een scherpe en een stompe hoek dezelfde sinus hebben: sin(α)=sin(180∘−α). Zoek je een hoek met de sinusregel, dan geeft sin−1 alleen de scherpe hoek. Of de stompe hoek ook past, controleer je met de som van de hoeken en met de zijden: de grootste zijde ligt tegenover de grootste hoek.
4.Hoe los ik de cosinusregel op als de onbekende zijde ook in het product staat?+
Antwoord:Dan krijg je een kwadratische vergelijking in die zijde, zoals x2−9⋅x=40. Breng alles naar één kant en los op met de abc-formule, of voer beide kanten in als grafieken in de grafische rekenmachine en bepaal het snijpunt. Alleen een positieve oplossing kan een lengte zijn.
5.Hoe zit het met de stelling van Pythagoras?+
Antwoord:De stelling van Pythagoras is het bijzondere geval van de cosinusregel waarin de hoek 90∘ is, want cos(90∘)=0. In een rechthoekige driehoek reken je dus gewoon met Pythagoras of met sinus, cosinus en tangens; in een willekeurige driehoek heb je de sinusregel of de cosinusregel nodig.
6.Moet ik bij een samengestelde figuur de driehoek zelf zoeken?+
Antwoord:Ja. Zoek in de figuur een driehoek waarvan je drie gegevens kent, bereken daarmee een zijde of hoek, en gebruik die in de volgende driehoek. Een diagonaal van een vierhoek is de zijde die twee driehoeken gemeen hebben, dus de eerste driehoek levert de lengte voor de tweede.