Sinusoïde: periode, amplitude, evenwichtsstand, radialen en een formule opstellen
Een periodiek verschijnsel herhaalt zich steeds weer: het getij, de daglichtduur over een jaar, een zwaaiende schommel. Voor het centraal examen beschrijf je zo’n verschijnsel met een sinus of een cosinus. Je leest de periode en de amplitude af, stelt een formule op en berekent een tijdstip of een waarde. Op deze pagina zet je dat op een rij, met voorbeelden en een vraag uit het examen zelf.
Centraal examen havo wiskunde B: in 4 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026; vwo wiskunde A: in 4 van de 5; vwo wiskunde B: in 2 van de 5.
Per examen
uit de syllabus
Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.
Wiskunde B havo
Subdomein B4 Periodieke functiesDe kandidaat kan periodieke verschijnselen beschrijven door middel van sinus- of cosinusfuncties, de bijbehorende sinusoïden tekenen en de karakteristieke eigenschappen ervan benoemen en alle oplossingen van een goniometrische vergelijking op een gegeven interval bepalen.
Subdomein B4 Periodieke functies, specificatie 4van een sinusoïde het bijbehorende functievoorschrift opstellen.
Subdomein B4 Periodieke functies, specificatie 5in een gegeven probleemsituatie voor een periodiek verschijnsel een functievoorschrift zoals bedoeld in B4.2 opstellen, daarmee berekeningen uitvoeren en de resultaten interpreteren.
Gevraagd in 4 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Domein D Goniometrische functiesDe kandidaat kan bij periodieke verschijnselen formules opstellen en bewerken, de bijbehorende grafieken tekenen, vergelijkingen oplossen en hierbij de periodiciteit met inzicht gebruiken.
Domein D Goniometrische functies, specificatie 3van een sinusoïde het bijbehorende functievoorschrift opstellen;
Domein D Goniometrische functies, specificatie 10in een gegeven probleemsituatie voor een periodiek verschijnsel een sinusmodel opstellen, de bijbehorende sinusoïde tekenen, berekeningen uitvoeren aan dit model en de resultaten terugvertalen naar de probleemsituatie;
Gevraagd in 2 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Subdomein C1 Standaardfuncties, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent de volgende typen standaardfuncties inclusief de bijbehorende namen f(x) = ax + b (lineaire of eerstegraadsfunctie), f(x) = ax² + bx + c (kwadratische of tweedegraadsfunctie), f(x) = a · x^n (n rationaal) (machtsfunctie), f(x) = b · g^x, ook f(x) = b · e^x (exponentiële functie), f(x) = ᵍlog(x) (logaritmische functie), ook f(x) = ln(x) (natuurlijke logaritme) f(x) = sin(x) (sinusfunctie);
Subdomein C1 Standaardfuncties, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent bij de sinusfunctie de begrippen: amplitude, evenwichtsstand en periode.
Gevraagd in 4 van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
WI/K/4 WI/V/1 Algebraïsche verbanden, specificatie 1de volgende verbanden kennen, herkennen en gebruiken: periodieke verband herkennen en gebruiken: de begrippen amplitude, periode en frequentie herkennen en gebruiken
Gevraagd in geen van de 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
Overzicht met formules: ja · Rekenmachine zonder grafieken
Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.
Het belangrijkste
wat je moet weten
Een periodiek verschijnsel herhaalt zich na een vaste tijd, de periode. De grafiek van y=a+b⋅sin(c(t−d)) of van y=a+b⋅cos(c(t−d)) is een golf; bij havo B, vwo A en vwo B heet die golf een sinusoïde. De letters kunnen in een vraag anders zijn: lees altijd wat ze betekenen.
Bij havo B en vwo is de evenwichtsstand het gemiddelde van de hoogste en de laagste waarde: a=2ymax+ymin. De amplitude is het halve verschil: ∣b∣=2ymax−ymin. Bij een cosinus met een minteken ervoor is b negatief; de amplitude blijft ∣b∣. Op vwo C heet de evenwichtsstand ‘evenwichtswaarde’.
De periode is P=c2π, dus c=P2π. Bij wiskunde B (havo en vwo) reken je met radialen: de grafische rekenmachine moet dan op radialen staan, en 180 graden is π radialen.
De verschuiving d lees je uit de grafiek af. Bij sin(c(t−d)) gaat de grafiek op t=d stijgend door de waarde a; bij cos(c(t−d)) ligt op t=d een top. Verschillende formules kunnen dezelfde grafiek geven, dus er zijn meerdere goede waarden voor d.
Een vergelijking als a+b⋅sin(c(t−d))=k heeft in elke periode twee oplossingen, tenzij k de hoogste of de laagste waarde is. Bij havo en vwo vind je ze met de snijpunten van de grafiek en de lijn y=k op de grafische rekenmachine, of met sin(u)=bk−a en de symmetrie van de grafiek: de oplossingen zijn u en π−u, plus een veelvoud van 2π.
Het centraal examen wiskunde B havo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. Een formuleblad is er niet.
Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Het centraal examen wiskunde A vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.
Zo pak je het aan
stap voor stap
1.Lees hoogste en laagste waarde af
Zoek in de grafiek, de tabel of de tekst de hoogste en de laagste waarde. Het gemiddelde van de twee is bij havo B, vwo A en vwo B de evenwichtsstand (op vwo C: evenwichtswaarde), het halve verschil is de amplitude.
2.Bepaal de periode en de factor c
De periode is de tijd tussen twee toppen of twee dalen. Reken om met c=P2π; bij een gegeven c is de periode c2π.
3.Kies sinus of cosinus en bepaal d
Een cosinus begint in een top, een cosinus met een minteken in een dal, een sinus in het midden van de golf op weg omhoog. Kies de vorm waarmee d het eenvoudigst uit de grafiek te lezen is.
4.Controleer met een punt uit de grafiek
Vul een tijdstip in waarvan je de waarde kent, bijvoorbeeld de top, en kijk of je formule dezelfde waarde geeft.
5.Los een gevraagd tijdstip op
Schrijf de vergelijking als sin(…)=… of zoek bij havo en vwo de snijpunten met de grafische rekenmachine. Gebruik de symmetrie voor de tweede oplossing en let op het interval of op ‘voor het eerst’.
Voorbeelden
Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.
1.Kenmerken uit een formule
Voor de waterstand W in meter in een kleine haven geldt W=2,5+1,8⋅sin(0,5(t−1)), met t in uren. Bepaal het midden van de golf, de amplitude, de periode en de hoogste en de laagste waterstand. Geef de periode in één decimaal.
De formule heeft de vorm a+b⋅sin(c(t−d)) met a=2,5,b=1,8,c=0,5 en d=1. Het midden van de golf ligt dus op 2,5 meter en de amplitude 1,8 meter.
De periode is 0,52π=4π≈12,57 uur.
De hoogste waterstand is 2,5+1,8=4,3 meter en de laagste 2,5−1,8=0,7 meter.
Antwoord: de periode is ongeveer 12,6 uur; de waterstand ligt tussen 0,7 en 4,3 meter.
2.Een formule opstellen uit hoogste en laagste waarde
Het aantal uren daglicht D per dag is op een plek in het noorden maximaal 16,8 uur, op dag 172, en minimaal 5,2 uur. Een jaar duurt 365 dagen. Stel een formule op van de vorm D=a+b⋅cos(c(t−d)), met t het dagnummer. Geef c als breuk met π.
Het midden van de golf is a=216,8+5,2=11 en de amplitude is b=216,8−5,2=5,8.
De periode is 365 dagen, dus c=3652π.
Een cosinus met een plusteken heeft zijn top op t=d. De top ligt op dag 172, dus d=172.
Antwoord: D=11+5,8⋅cos(3652π(t−172)). Met een sinus kan het ook: de sinus bereikt zijn top een kwart periode na t=d, dus dan is d=172−4365=80,75.
3.Twee tijdstippen met dezelfde waarde
Voor de waterstand in de haven geldt W=2,5+1,8⋅sin(0,5(t−1)), met W in meter en t in uren. Bereken op welke tijdstippen tussen t=0 en t=8 de waterstand 3,0 meter is. Geef je antwoorden in één decimaal.
Los 2,5+1,8⋅sin(0,5(t−1))=3 op. Dat geeft sin(0,5(t−1))=1,80,5=185.
Neem u=arcsin(185)≈0,2815. De oplossingen van sin(v)=185 zijn v=u en v=π−u, plus een veelvoud van 2π.
Uit 0,5(t−1)=u volgt t=1+2u≈1,563. Uit 0,5(t−1)=π−u volgt t=1+2(π−u)≈6,720. De volgende oplossing ligt een periode van ongeveer 12,57 uur later en valt buiten het interval.
Bij havo en vwo geven de snijpunten van de grafiek van W en de lijn y=3 op de grafische rekenmachine dezelfde twee waarden.
Antwoord: de waterstand is 3,0 meter op t≈1,6 en op t≈6,7.
4.Graden en radialen omrekenen bij wiskunde B
Bij wiskunde B (havo en vwo) reken je graden om in radialen en omgekeerd. Reken 150 graden om in radialen en 47π radialen in graden.
Bij wiskunde B is 180 graden gelijk aan π radialen, dus 150 graden is 180150π=65π radialen.
Omgekeerd is bij wiskunde B 47π radialen gelijk aan 47⋅180=315 graden.
Antwoord (wiskunde B): 150 graden is 65π radialen en 47π radialen is 315 graden.
Een vraag uit het centraal examen
een echte examenvraag
Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.
Centraal examenhavo B
Temperatuur in de grond
Gedurende de dag verandert de temperatuur van de buitenlucht. Meestal is het in de nacht kouder dan overdag en is het in de middag het warmst. De temperatuur van de grond op verschillende diepten zal zich aanpassen aan de temperatuur van de buitenlucht. Die aanpassing loopt in de tijd wat achter ten opzichte van de temperatuur van de buitenlucht.
We kijken eerst naar gemeten temperaturen op verschillende diepten in veengrond. We doen dat voor een bepaalde periode van twee dagen.
Op basis van de meetresultaten op de grond (0 cm diep) en op twee verschillende diepten (5 cm diep en 10 cm diep) zijn in een model drie sinusoïden getekend. Zie de figuur.
Hierbij is T de temperatuur in graden Celsius en t het aantal uren na het begin van de twee dagen, met t=0 om 0.00 uur.
De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuurBron: CvTE — Examenblad.nlIn deze figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat de temperatuur op de grond in de loop van de middag maximaal is. De maximale temperaturen op een diepte van 5 cm en 10 cm worden op een later tijdstip bereikt.
Bij elke grafiek hoort een formule van de vorm T=a+b⋅sin(c(t−d)).
Vraag 9
Bepaal de waarden van a,b,c en d voor de grafiek op de grond. Geef a,b en d als geheel getal en geef c in één decimaal. Gebruik de figuur op de uitwerkbijlage.
Uitwerkbijlage, vraag 9 en 10 · Bron: CvTE — Examenblad.nl
De grafiek op de grond is de streepjeslijn. Die heeft een hoogste punt bij T=33 en een laagste punt bij T=7.
De evenwichtsstand is a=233+7=20 en de amplitude is b=233−7=13.
De toppen liggen bij t≈14 en t≈38, dus de periode is 24 uur. Dan is c=242π≈0,26, in één decimaal 0,3.
Het laagste punt ligt bij t≈2 en het hoogste bij t≈14. Halverwege, op t=8, gaat de grafiek stijgend door de evenwichtsstand, dus d=8. Een andere correcte waarde mag ook.
Antwoord: a=20,b=13,c=0,3 en d=8.
Per examen: wat verschilt
vmbo, havo, vwo
Wiskunde B vwo
Bij wiskunde B vwo staat dit in domein D Goniometrische functies. Als parate kennis noemt de syllabus het sinusmodel f(x)=d+a⋅sin(b(x−c)) en het model met cosinus, en de exacte waarden van sinus, cosinus en tangens bij veelvouden van 61π en 41π. De letters staan daar in een andere volgorde dan op deze pagina: vergelijk dus altijd de betekenis, niet de letter.
Je stelt het model op voor een sinusoïde (D.3) en voor een periodiek verschijnsel in een probleemsituatie (D.10), en rekent er daarna mee. Bij de vergelijkingen sin(x)=c en cos(x)=c gebruik je periodiciteit en symmetrie (D.6), zoals in het derde voorbeeld.
Wiskunde A vwo
Bij wiskunde A vwo staat de sinusfunctie f(x)=sin(x) bij de standaardfuncties van subdomein C1. Als parate kennis noemt de syllabus de begrippen amplitude, evenwichtsstand en periode. Is de formule gegeven, dan lees je die kenmerken eruit af en reken je ermee.
De syllabus noemt radialen niet. Staat π in de formule, dan rekent de grafische rekenmachine toch in radialen: zet haar daarop. Een vraag naar het aantal dagen of de duur waarin een waarde boven een niveau ligt los je op met de snijpunten van de grafiek en een horizontale lijn.
Wiskunde C vwo
Bij wiskunde C vwo staat in domein C Verbanden, specificatie C.7, dat je van een periodiek verschijnsel de periode, de amplitude en de evenwichtswaarde kunt bepalen. De syllabus noemt voor wiskunde C de sinusoïde niet en ook geen formule met sinus of cosinus: het gaat om het verschijnsel zelf. Je werkt met een grafische rekenmachine; de evenwichtswaarde is het gemiddelde van de hoogste en de laagste waarde.
Wiskunde vmbo
In het vmbo-examen staat het periodieke verband bij exameneenheid K/4.1 Algebraïsche verbanden: je kunt de begrippen amplitude, periode en frequentie herkennen en gebruiken. De syllabus noemt voor het vmbo niet dat je een formule met een sinusoïde opstelt.
De frequentie is het aantal keer per tijdseenheid dat het verschijnsel zich herhaalt. Duurt één periode 4 seconden, dan is de frequentie 1:4=0,25 per seconde, en dat zijn 60×0,25=15 keer per minuut. Je gebruikt een rekenmachine zonder grafieken.
Test jezelf
meteen nakijken
Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.
havo B
Vraag 1.
De temperatuur T in een kas schommelt elke dag op dezelfde manier en is te beschrijven met een sinusoïde met een periode van 24 uur. De hoogste temperatuur is 23 °C, om 12 uur; de laagste temperatuur is 9 °C.
Geef een formule voor T in °C, met t de tijd in uren na middernacht. Typ π als pi.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 2.
Voor de temperatuur in een kas op een zomerdag geldt T=15+6sin(121π(t−10)). Hierin is T de temperatuur in °C en t de tijd in uren na middernacht.
Bereken op welk tijdstip de temperatuur voor het eerst 16 °C is. Geef je antwoord in uren, in één decimaal.
uur
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
havo B
Vraag 3.
Gegeven is de functie f(x)=6−5cos(21πx).
Geef de amplitude, de periode en de evenwichtsstand van de grafiek van f. Geef de periode exact.
Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.
Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.
Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vwo A
Vraag 4.
Een slinger zwaait heen en weer voor een muur. Er geldt A=59+28sin(1,32(t−1,0)). Hierin is A de afstand van de slinger tot de muur in cm en t de tijd in seconden.
Bereken de evenwichtsstand, de amplitude en de periode van A. Geef de periode in twee decimalen.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
vmbo
Vraag 5.
In een golfslagbad gaat het water op en neer. De grafiek toont de waterhoogte h bij de rand, in dm, met t de tijd in seconden.
Bepaal met behulp van de grafiek de amplitude en de evenwichtsstand.
Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.
Het verschil tussen de hoogste en de laagste waarde als amplitude nemen. Dat verschil is twee keer de amplitude: ∣b∣=2ymax−ymin.
De periode zelf invullen als c. De periode is c2π, dus bij een periode van 18 is c=182π=9π en niet 18.
Bij havo B en vwo B de grafische rekenmachine op graden laten staan terwijl de formule radialen verwacht. Dan geeft dezelfde invoer een heel andere waarde.
Maar één oplossing geven. Een vergelijking als sin(c(t−d))=k heeft in elke periode twee oplossingen; lees in de vraag of ‘voor het eerst’ of een interval staat.
Het teken van d omdraaien. In sin(c(t−d)) schuift de grafiek met d naar rechts; bij sin(c(t+2)) is d=−2.
Onthoud
Havo B, vwo A en vwo B: evenwichtsstand a=2ymax+ymin en amplitude ∣b∣=2ymax−ymin.
Periode: P=c2π; dus c=P2π.
Sinus: d is waar de grafiek stijgend door de waarde a gaat; cosinus: d is waar de top ligt.
Een vergelijking heeft per periode twee oplossingen: u en π−u.
Bij wiskunde B: 180 graden is π radialen.
Veelgestelde vragen
1.Wat is bij havo B en vwo het verschil tussen de amplitude en de evenwichtsstand?+
Antwoord:De evenwichtsstand is de waarde in het midden van de golf, het gemiddelde van de hoogste en de laagste waarde. De amplitude is de afstand van dat midden tot de top, dus de helft van het hoogteverschil tussen top en dal. Een golf met evenwichtsstand 30 en amplitude 9 loopt van 21 tot 39. Op vwo C heet de evenwichtsstand evenwichtswaarde.
2.Hoe bereken ik de periode uit de formule?+
Antwoord:In een formule met sin(c(t−d)) of cos(c(t−d)) is de periode c2π. Is c=0,5, dan is de periode 4π≈12,57. Omgekeerd vind je c uit de periode met c=P2π. Controleer het antwoord altijd tegen de grafiek: past er in de afgelezen periode precies één golf?
3.Wanneer gebruik ik een sinus en wanneer een cosinus?+
Antwoord:Beide geven dezelfde soort golf; ze verschillen alleen in de verschuiving d. Een cosinus begint in een top, dus is d gewoon het tijdstip van een top. Een sinus begint in het midden van de golf op weg omhoog. Kies de vorm waarbij je d het makkelijkst uit de grafiek afleest. Beide antwoorden zijn goed als ze dezelfde grafiek geven.
4.Hoe vind ik beide tijdstippen als een waarde twee keer voorkomt?+
Antwoord:Los eerst sin(v)=k op met arcsin of, bij havo en vwo, met de grafische rekenmachine: dat geeft v=u. De tweede oplossing in dezelfde periode is v=π−u. Reken beide terug naar t en tel een veelvoud van de periode op voor de volgende. Controleer dat elk tijdstip in het gevraagde interval ligt.
5.Wat is de frequentie van een periodiek verschijnsel?+
Antwoord:De frequentie is het aantal perioden per tijdseenheid, dus het omgekeerde van de periode. Bij wiskunde B vwo en in het vmbo-examen staat het begrip in de syllabus. Duurt één periode 0,5 seconde, dan is de frequentie 2 per seconde. Let op de eenheid: een frequentie per minuut reken je om met 60 seconden in een minuut.
6.Wat is het verschil tussen graden en radialen bij wiskunde B?+
Antwoord:Een volledige draai is 360 graden of 2π radialen. Bij wiskunde B (havo en vwo) werk je in sinus- en cosinusformules met radialen, en reken je graden om met 180 graden is π radialen. Zet de grafische rekenmachine op de stand die bij de formule hoort: staat π in de formule, dan hoort er radialen bij.