Wat is het verschil tussen een primitieve en een bepaalde integraal?

Een primitieve van $f$ is een functie $F$ met $F'(x) = f(x)$. Een bepaalde integraal $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ is een getal: het verschil $F(b) - F(a)$. De primitieve heeft nog een constante die bij het berekenen van de integraal wegvalt.

Hoe stel ik de integraal op voor een oppervlakte tussen twee grafieken?

Bepaal eerst de snijpunten door $f(x) = g(x)$ op te lossen; dat zijn de grenzen. Ga na welke grafiek tussen de grenzen boven ligt, bijvoorbeeld door een $x$ ertussen in te vullen. De oppervlakte is dan de integraal van de bovenste functie min de onderste functie.

Hoe werkt wentelen om de $y$-as?

Je integreert naar $y$. Schrijf $x^2$ als functie van $y$, bepaal de grenzen als $y$-waarden en bereken $\pi \cdot \int_c^d x^2\,\mathrm{d}y$. Soms geeft de opgave $x^2$ al in $y$, zoals bij een kromme met een formule voor $x^2$; anders los je de vergelijking van de kromme op naar $x^2$.

Wanneer mag ik de grafische rekenmachine gebruiken voor een integraal?

Bij wiskunde B is het benaderen van een bepaalde integraal met ICT, dus met de grafische rekenmachine, een vaardigheid van de syllabus. Staat er in de vraag ‘exact’, dan mag je geen benadering opschrijven en gebruik je geen specifieke opties van de grafische rekenmachine. Schrijf bij een numeriek antwoord op welke integraal je hebt bepaald.

Waarom moet ik bij een integraal soms splitsen?

Als de functie in het interval van teken wisselt, hoort een deel van het vlakdeel onder de $x$-as. De integraal telt dat deel negatief, dus tel je de stukken apart of gebruik je de absolute waarde. Bereken eerst de nulpunten en splits het interval daar.

Wat is de gemiddelde waarde van een functie?

De gemiddelde waarde van $f$ op het interval $[a, b]$ is $\frac{1}{b - a} \cdot \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Zo reken je bijvoorbeeld uit wat de gemiddelde temperatuur is in een periode waarin de temperatuur een functie van de tijd is. Vergeet niet te delen door de lengte van het interval.

Centraal examen 2027 · Wiskunde B vwo

Integreren: primitieven, de bepaalde integraal, oppervlakte en de inhoud van een omwentelingslichaam

Integreren is het omgekeerde van differentiëren. Met een primitieve functie bereken je een bepaalde integraal, en daarmee de oppervlakte van een vlakdeel, de inhoud van een omwentelingslichaam of de totale hoeveelheid bij een veranderende grootheid. Deze pagina zet de werkwijze op een rij, met voorbeelden en een vraag uit het centraal examen wiskunde B vwo, als voorbereiding op het eindexamen.

Centraal examen vwo wiskunde B: in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.

Syllabus centraal examen

Wiskunde B vwo

Subdomein C3 IntegraalrekeningDe kandidaat kan in geschikte toepassingen een bepaalde integraal opstellen en exact berekenen.
Subdomein C3 Integraalrekening, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de begrippen integrand, primitieve functie en bepaalde integraal; de notatie ∫ₐᵇ f(x) dx; de hoofdstelling van de integraalrekening: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), waarbij F een primitieve functie van f is.
Subdomein C3 Integraalrekening, specificatie 5voor de berekening van de inhoud van een omwentelingslichaam dat ontstaat door een vlakdeel te wentelen om de x-as of de y-as een bepaalde integraal opstellen;

Pagina gecontroleerd op 27 oktober 2026

Per examen

uit de syllabus

Wat de syllabus van elk examen over dit onderwerp zegt, en in welke vragen van het eerste tijdvak het gevraagd werd.

Wiskunde B vwo
- Subdomein C3 IntegraalrekeningDe kandidaat kan in geschikte toepassingen een bepaalde integraal opstellen en exact berekenen.
- Subdomein C3 Integraalrekening, parate kennisParate kennis. De kandidaat kent: de begrippen integrand, primitieve functie en bepaalde integraal; de notatie ∫ₐᵇ f(x) dx; de hoofdstelling van de integraalrekening: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), waarbij F een primitieve functie van f is.
- Subdomein C3 Integraalrekening, specificatie 5voor de berekening van de inhoud van een omwentelingslichaam dat ontstaat door een vlakdeel te wentelen om de x-as of de y-as een bepaalde integraal opstellen;
Gevraagd in alle 5 examens van het eerste tijdvak 2022–2026.
2026: vraag 7, 16; 2025: vraag 5, 10; 2024: vraag 3, 4, 5; 2023: vraag 2, 3, 12, 19; 2022: vraag 2, 10
Formuleblad: ja · Grafische rekenmachine: ja
Alle onderwerpen van dit examen Het formuleblad Het examen van 2026 gratis maken

Geteld: de examens van het eerste tijdvak 2022–2026. Een vraag telt mee als het onderwerp erin gevraagd wordt.

Het belangrijkste

wat je moet weten

Een primitieve van $f$ is een functie $F$ met $F'(x) = f(x)$ . De functie onder het integraalteken heet de integrand. Een primitieve controleer je door te differentiëren.
De bepaalde integraal van $f$ van $a$ tot $b$ schrijf je als $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . Volgens de hoofdstelling van de integraalrekening is die gelijk aan $F(b) - F(a)$ , met $F$ een primitieve van $f$ .
Primitieven om te kennen: bij $x^n$ hoort $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ (voor $n \neq -1$ ), bij $\mathrm{e}^x$ hoort $\mathrm{e}^x$ , bij $\sin(x)$ hoort $-\cos(x)$ en bij $\cos(x)$ hoort $\sin(x)$ . Bij een functie $f(cx + d)$ deel je de primitieve door $c$ . Bij $\frac{1}{x}$ , met $x > 0$ , hoort $\ln(x)$ , omdat de afgeleide van $\ln(x)$ gelijk is aan $\frac{1}{x}$ ; de syllabus noemt deze primitieve niet apart.
De oppervlakte van een vlakdeel tussen de grafiek van $f$ , de $x$ -as en de lijnen $x = a$ en $x = b$ is $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ als $f(x) \ge 0$ . Tussen twee grafieken is het $\int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)\mathrm{d}x$ , met $f$ boven $g$ . De snijpunten leveren de grenzen.
Wentel je een vlakdeel om de $x$ -as, dan is de inhoud van het omwentelingslichaam $\pi \cdot \int_a^b \left(f(x)\right)^2\mathrm{d}x$ . Bij wentelen om de $y$ -as schrijf je $x^2$ als functie van $y$ en integreer je naar $y$ : $\pi \cdot \int_c^d x^2\,\mathrm{d}y$ .
Bij een context geeft de integraal van een veranderingssnelheid de totale verandering. De gemiddelde waarde van $f$ op $[a, b]$ is $\frac{1}{b - a} \cdot \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . Een bepaalde integraal mag je benaderen met de grafische rekenmachine; staat er ‘exact’, dan laat je wortels, $\pi$ en logaritmen staan.

Het centraal examen wiskunde B vwo duurt 180 minuten. Je werkt met een grafische rekenmachine in de examenstand; een gewone rekenmachine mag niet. In het examen staat een formuleblad.

Zo pak je het aan

stap voor stap

1.Maak een schets
Teken de grafiek en het vlakdeel. Zie je welke functie boven ligt en wat de grenzen zijn, dan weet je wat de integrand wordt.
2.Stel de integraal op
Schrijf $\int_a^b \ldots\,\mathrm{d}x$ met de juiste grenzen en integrand. Bij een omwentelingslichaam hoort er een factor $\pi$ bij en kwadrateer je de functie.
3.Bepaal een primitieve
Herschrijf de integrand tot machten van $x$ en gebruik de primitieven van de standaardfuncties. Bij een samengestelde functie met een lineaire binnenste functie deel je door $c$ .
4.Vul de grenzen in
Bereken $F(b) - F(a)$ . Zet de onderste grens tussen haakjes, zodat minnetekens goed gaan.
5.Controleer en interpreteer
Een oppervlakte of inhoud is positief. Staat er een context, geef dan het antwoord met eenheid en rond af zoals de vraag zegt.

Voorbeelden

Probeer het eerst zelf, en vergelijk dan met de uitwerking.

1.Een bepaalde integraal exact berekenen
Bereken exact $\int_1^4 \left(6\sqrt{x} - \frac{3}{x^2}\right)\mathrm{d}x$ .
2.De oppervlakte tussen twee grafieken
Gegeven zijn $f(x) = 6x - x^2$ en $g(x) = x^2$ . De grafieken sluiten een vlakdeel in. Bereken de oppervlakte van dat vlakdeel.
3.De inhoud bij wentelen om de $x$ -as
Het vlakdeel begrensd door de grafiek van $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ , de $x$ -as en de lijnen $x = 0$ en $x = 4$ wentelt om de $x$ -as. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.
4.Een totale hoeveelheid in een context
Tijdens een bui valt er regenwater in een put. De instroom is $f(t) ={}$ $40\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ liter per minuut, met $t$ de tijd in minuten na het begin van de bui. Bereken hoeveel liter er in de eerste $10$ minuten in de put stroomt. Geef je antwoord als geheel getal.

Een vraag uit het centraal examen

een echte examenvraag

Zo staat de vraag in het examen, met de tekst van de opgave erboven. Probeer hem eerst zelf voordat je de uitwerking opent.

Centraal examenvwo B

Perforatie en oppervlakte

De functie

f_p

wordt gegeven door:

f_p(x) ={}

\dfrac{|x - 2| + p}{x - 1}

Voor één waarde van

p

heeft de grafiek van

f_p

een perforatie. Het functievoorschrift van

f_0

kan voor

x > 1

worden geschreven als:

f_0(x) = \left|1 - \dfrac{1}{x - 1}\right|

In de figuur is de grafiek hiervan weergegeven. figuur

Grafiek met een x-as van 0 tot iets voorbij 6, genummerd 1 tot en met 6, en een y-as genummerd 1 en 2. De grafiek van f0 komt rechts van x = 1 van boven, daalt steil tot het punt (2, 0) op de x-as en stijgt daarna steeds langzamer naar rechts, onder de hoogte 1 blijvend. Een verticale gestippelde lijn met het opschrift x = 5. Het vlakdeel tussen de grafiek van f0, de x-as en de lijn x = 5, van x = 2 tot x = 5, is grijs. — Bron: CvTE — Examenblad.nl

Het punt

(2, 0)

is het snijpunt van de grafiek van

f_0

met de

x

-as.

V

is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van

f_0

, de

x

-as en de lijn met vergelijking

x = 5

. Dit vlakdeel is in de figuur grijs gemaakt.

Vraag 7

Bereken exact de oppervlakte van

V

Bron: College voor Toetsen en Examens, centraal examen vwo wiskunde B 2026, tijdvak 1, vraag 7 — Examenblad.nl · Het examen op Examenblad.nl · Maak het hele examen gratis

Test jezelf

meteen nakijken

Kies of typ je antwoord en kijk het meteen na: de uitwerking verschijnt onder de opgave.

vwo B

Vraag 1.

Bereken exact

\int_{1}^{2} \left(6x - \frac{4}{x}\right) \, dx

integraal

=

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 2.

Gegeven zijn de functies

f(x) = 4x^2 - 7x + 2

g(x) = 2x^2 - 5x + 2

. De grafieken van

f

g

sluiten een vlakdeel in. Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.

oppervlakte

=

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 3.

Gegeven is de functie

f

met

f(x) = \sqrt{x + 4}

. Het vlakdeel

V

wordt begrensd door de grafiek van

f

, de

x

-as en de lijnen

x = 0

x = 4

. Het vlakdeel

V

wentelt om de

x

-as. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.

inhoud

=

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 4.

In een kas wordt de temperatuur geregeld. Voor de temperatuur

T

in °C geldt

T(t) = 17 + 5\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)

, met

t

de tijd in uren en

t = 0

om zes uur 's ochtends. Bereken de gemiddelde temperatuur van

t = 0

tot

t = 5

. Geef je antwoord in één decimaal.

°C

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

vwo B

Vraag 5.

Gegeven is de functie

f

met

f(x) = -1 - 3x^2

. De functie

F

is de primitieve van

f

waarvoor geldt

F(0) = -1

. Geef een formule voor

F(x)

F(x) =

Lastig om een breuk, wortel of macht te typen? Klik op het potlood naast het vak en schrijf het antwoord met de hand.

Of schrijf het antwoord op een blaadje en maak er een foto van: klik op de camera naast het vak.

Zo typ je het: een macht als x^2 of x², een product als 3x of 3*x, een quotiënt als (x + 1)/2, een exponent van meer dan één teken tussen haakjes, e^(-0,4t); ln(x), √x of sqrt(x), pi voor π.

Kleksa-opgave in de vorm van het centraal examen — uitwerking van Kleksa.

Meer opgaven: maak gratis een heel centraal examen

Veelgemaakte fouten

waar punten verloren gaan

Bij een omwentelingslichaam de functie niet kwadrateren of de factor $\pi$ vergeten. De inhoud is $\pi \cdot \int \left(f(x)\right)^2\mathrm{d}x$ , niet $\pi \cdot \left(\int f(x)\,\mathrm{d}x\right)^2$ .
Op $\frac{1}{x}$ de machtsregel toepassen. Die werkt niet voor $n = -1$ : een primitieve van $\frac{1}{x}$ is, voor $x > 0$ , $\ln(x)$ .
Bij $f(cx + d)$ vergeten door $c$ te delen. Een primitieve van $\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ is $-5\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ en niet $\mathrm{e}^{-0{,}2t}$ .
Bij de oppervlakte tussen twee grafieken de functies in de verkeerde volgorde aftrekken, of niet nagaan welke grafiek boven ligt. Een oppervlakte is nooit negatief.
De ondergrens vergeten in te vullen. Alleen $F(b)$ is het antwoord pas als $F(a) = 0$ is.

Onthoud

Hoofdstelling: $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x ={}$ $F(b) - F(a)$ .
Om de $x$ -as: $\pi \cdot \int_a^b \left(f(x)\right)^2\mathrm{d}x$ ; om de $y$ -as: $\pi \cdot \int_c^d x^2\,\mathrm{d}y$ .
Voor de oppervlakte tussen twee grafieken trek je de onderste functie af van de bovenste functie.
Controleer een primitieve door te differentiëren.

Veelgestelde vragen

1.Wat is het verschil tussen een primitieve en een bepaalde integraal?+
Antwoord:Een primitieve van $f$ is een functie $F$ met $F'(x) = f(x)$ . Een bepaalde integraal $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ is een getal: het verschil $F(b) - F(a)$ . De primitieve heeft nog een constante die bij het berekenen van de integraal wegvalt.
2.Hoe stel ik de integraal op voor een oppervlakte tussen twee grafieken?+
Antwoord:Bepaal eerst de snijpunten door $f(x) = g(x)$ op te lossen; dat zijn de grenzen. Ga na welke grafiek tussen de grenzen boven ligt, bijvoorbeeld door een $x$ ertussen in te vullen. De oppervlakte is dan de integraal van de bovenste functie min de onderste functie.
3.Hoe werkt wentelen om de $y$ -as?+
Antwoord:Je integreert naar $y$ . Schrijf $x^2$ als functie van $y$ , bepaal de grenzen als $y$ -waarden en bereken $\pi \cdot \int_c^d x^2\,\mathrm{d}y$ . Soms geeft de opgave $x^2$ al in $y$ , zoals bij een kromme met een formule voor $x^2$ ; anders los je de vergelijking van de kromme op naar $x^2$ .
4.Wanneer mag ik de grafische rekenmachine gebruiken voor een integraal?+
Antwoord:Bij wiskunde B is het benaderen van een bepaalde integraal met ICT, dus met de grafische rekenmachine, een vaardigheid van de syllabus. Staat er in de vraag ‘exact’, dan mag je geen benadering opschrijven en gebruik je geen specifieke opties van de grafische rekenmachine. Schrijf bij een numeriek antwoord op welke integraal je hebt bepaald.
5.Waarom moet ik bij een integraal soms splitsen?+
Antwoord:Als de functie in het interval van teken wisselt, hoort een deel van het vlakdeel onder de $x$ -as. De integraal telt dat deel negatief, dus tel je de stukken apart of gebruik je de absolute waarde. Bereken eerst de nulpunten en splits het interval daar.
6.Wat is de gemiddelde waarde van een functie?+
Antwoord:De gemiddelde waarde van $f$ op het interval $[a, b]$ is $\frac{1}{b - a} \cdot \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . Zo reken je bijvoorbeeld uit wat de gemiddelde temperatuur is in een periode waarin de temperatuur een functie van de tijd is. Vergeet niet te delen door de lengte van het interval.

Zie ook

Alle onderwerpen wiskunde b vwo

Bronnen

De rijen van de syllabus zijn geciteerd uit de syllabi centraal examen 2027 van het College voor Toetsen en Examens; de telling is van ons.

Pagina gecontroleerd op 27 oktober 2026

Laatste opgave.

Maak gratis het centraal examen 2026, eerste tijdvak — 180 minuten, en kijk het zelf na met het correctievoorschrift

Maak het examen gratis

Integreren: primitieven, de bepaalde integraal, oppervlakte en de inhoud van een omwentelingslichaam

Per examen

Het belangrijkste

Zo pak je het aan

1.Maak een schets

2.Stel de integraal op

3.Bepaal een primitieve

4.Vul de grenzen in

5.Controleer en interpreteer

Voorbeelden

1.Een bepaalde integraal exact berekenen

2.De oppervlakte tussen twee grafieken

3.De inhoud bij wentelen om de xxx-as

4.Een totale hoeveelheid in een context

Een vraag uit het centraal examen

Test jezelf

Veelgemaakte fouten

Onthoud

Veelgestelde vragen

Zie ook

Bronnen

3.De inhoud bij wentelen om de $x$ -as