Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Unghiuri pentru Evaluarea Națională: adiacente, complementare, suplementare, formate de paralele cu o secantă

Unghiurile apar la Evaluarea Națională în fiecare an, în itemul 2 al subiectului al II-lea, și ca pași în aproape orice problemă de geometrie. Ca să le rezolvi trebuie să știi pe de rost ce înseamnă unghiuri opuse la vârf, adiacente, complementare și suplementare, ce este bisectoarea și ce unghiuri egale apar între două paralele tăiate de o secantă. Mai jos le ai, cu metoda, exemple rezolvate și două subiecte CNCE.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în subiectul al II-lea (itemul 2, iar în 2024 itemul 3); apare și ca pas în problemele de geometrie.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Tipuri de unghiuri: nul (0∘0^\circ), ascuțit (între 0∘0^\circ și 90∘90^\circ), drept (90∘90^\circ), obtuz (între 90∘90^\circ și 180∘180^\circ), alungit (180∘180^\circ). Un grad are 6060 de minute: 1∘=60′1^\circ = 60^{\prime}, deci 35∘48′35^\circ 48^{\prime} înseamnă 3535 de grade și 4848 de minute.
  • Unghiuri complementare: suma lor este 90∘90^\circ. Suplementare: suma lor este 180∘180^\circ. Două unghiuri adiacente au același vârf, o latură comună și nu au puncte interioare comune; dacă laturile necomune sunt în prelungire, ele sunt și suplementare.
  • Unghiuri opuse la vârf (formate de două drepte care se taie) sunt congruente. Unghiurile formate în jurul unui punct au suma 360∘360^\circ, iar unghiurile cu vârful într-un punct al unei drepte, așezate unul lângă altul de aceeași parte a ei, au suma 180∘180^\circ.
  • Bisectoarea unui unghi este semidreapta din vârf care îl împarte în două unghiuri congruente. Dacă OMOM este bisectoarea unghiului AOBAOB, atunci ∢AOM=\sphericalangle AOM ={}∢MOB= \sphericalangle MOB ={}∢AOB2 \dfrac{\sphericalangle AOB}{2}.
  • Două paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente, unghiuri corespondente congruente și unghiuri interne de aceeași parte suplementare. În figură, cele două unghiuri marcate α\alpha sunt alterne interne, iar α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ.
  • Reciprocele sunt criterii de paralelism: dacă alternele interne (sau corespondentele) sunt congruente, sau dacă internele de aceeași parte sunt suplementare, dreptele sunt paralele. Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea (axioma paralelelor).
ααβXYUVPQ

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Desenează figura și notează unghiurile

    Fă o figură mare, cu fiecare semidreaptă din enunț. Scrie pe ea măsurile date și pune o literă (sau xx) pe fiecare unghi pe care nu-l cunoști încă.

  2. 2.Găsește perechile de unghiuri

    Caută perechi opuse la vârf, adiacente, complementare sau suplementare. Pe o figură cu două paralele și o secantă caută alternele interne, corespondentele și internele de aceeași parte.

  3. 3.Scrie o ecuație

    Din fiecare pereche iese o relație: suma este 90∘90^\circ, 180∘180^\circ sau 360∘360^\circ, sau cele două unghiuri sunt egale. Dacă ai o necunoscută, notează un unghi cu xx și exprimă celelalte cu el.

  4. 4.Rezolvă și calculează unghiul cerut

    Află xx, apoi unghiul pe care ți-l cere enunțul, nu doar xx. Pentru bisectoare, folosește faptul că cele două jumătăți sunt egale; unghiul cerut este adesea suma sau diferența a două unghiuri.

  5. 5.Verifică

    Un unghi ascuțit are mai puțin de 90∘90^\circ, două unghiuri suplementare au suma 180∘180^\circ. La calculele cu minute, transformă fiecare grup de 60′60^{\prime} într-un grad.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Calcule cu grade și minute

    Calculează 47∘35′+47^\circ 35^{\prime} +{}38∘50′ 38^\circ 50^{\prime} și 90∘−52∘18′90^\circ - 52^\circ 18^{\prime}.

  2. 2.Unghiuri formate în jurul unui punct

    În jurul punctului OO sunt patru unghiuri adiacente, cu măsurile xx, 2x2x, 3x+20∘3x + 20^\circ și 4x+40∘4x + 40^\circ, care acoperă tot planul. Determină cele patru unghiuri.

  3. 3.Un unghi egal cu triplul complementului său

    Un unghi are măsura egală cu triplul măsurii complementului său. Calculează măsura unghiului.

  4. 4.Două paralele și o secantă, cu o ecuație

    Dreptele paralele XYXY și UVUV sunt tăiate de secanta PQPQ, cu P∈XYP \in XY și Q∈UVQ \in UV. Punctele YY și UU sunt de o parte și de alta a secantei, iar ∢YPQ=\sphericalangle YPQ ={}3x+10∘ 3x + 10^\circ și ∢PQU=\sphericalangle PQU ={}5x−30∘ 5x - 30^\circ. Calculează ∢XPQ\sphericalangle XPQ.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al II-lea, 2

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente AOBAOB și BOCBOC, ∢BOC=\sphericalangle BOC ={}2⋅∢AOB 2 \cdot \sphericalangle AOB. Măsura unghiului AOCAOC este egală cu 120∘120^\circ și semidreapta OMOM este bisectoarea unghiului BOCBOC. Măsura unghiului AOMAOM este egală cu:
OABMC

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 2 (varianta 7). Răspuns după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al II-lea, 3

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABCABC cu măsura unghiului AA egală cu 43∘43^\circ și măsura unghiului CC egală cu 51∘51^\circ. Punctele MM, NN și PP aparțin laturilor ACAC, ABAB respectiv BCBC, astfel încât dreapta MNMN este paralelă cu dreapta BCBC și dreapta MPMP este paralelă cu dreapta ABAB. Măsura unghiului NMPNMP este egală cu:
ABCMNP

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al II-lea, 3 (varianta 7). Răspuns după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente AOBAOB și BOCBOC, cu ∢AOB=\sphericalangle AOB ={}24∘ 24^\circ și ∢BOC=\sphericalangle BOC ={}56∘ 56^\circ. Semidreapta OMOM este bisectoarea unghiului AOBAOB, iar semidreapta ONON este bisectoarea unghiului BOCBOC. Măsura unghiului MONMON este egală cu:
ABCMNO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare AOCAOC și COBCOB, astfel încât ∢AOC=\sphericalangle AOC ={}5⋅∢COB 5 \cdot \sphericalangle COB. Măsura unghiului AOCAOC este egală cu:
ABCO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 3. (0–5)

În figura alăturată, dreptele ABAB și CDCD se intersectează în punctul OO, iar ∢AOC+\sphericalangle AOC +{}∢BOD= \sphericalangle BOD ={}118∘ 118^\circ. Măsura unghiului AODAOD este egală cu:
ABDCO

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 4. (0–5)

În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele ABAB și CDCD. Punctele EE, AA și CC sunt coliniare, în această ordine, iar punctele BB și DD sunt situate de o parte și de alta a dreptei ACAC. Măsura unghiului DCADCA este egală cu 80∘80^\circ. Măsura unghiului EABEAB este egală cu:
80°EABCD

Subiectul al II-lea, 2, din Evaluarea Națională 2026, matematică (CNCE, sesiunea iunie, varianta 1) — explicație Kleksa

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Confunzi complementul cu suplementul. Unghiurile complementare au suma 90∘90^\circ, cele suplementare 180∘180^\circ. Ține minte: „C” de la complementare este înaintea lui „S” de la suplementare, ca 9090 înaintea lui 180180.
  • Crezi că orice două unghiuri adiacente sunt suplementare. Sunt suplementare doar dacă laturile lor necomune sunt în prelungire, adică formează împreună un unghi alungit. Altfel suma lor poate fi orice.
  • Folosești unghiurile interne de aceeași parte ca fiind egale. La două paralele tăiate de o secantă, alternele interne și corespondentele sunt egale, dar internele de aceeași parte au suma 180∘180^\circ. Verifică mai întâi că dreptele sunt paralele.
  • Scazi minutele ca pe zecimale. Un grad are 6060 de minute, nu 100100: 90∘−52∘18′90^\circ - 52^\circ 18^{\prime} nu este 38∘82′38^\circ 82^{\prime}, ci 37∘42′37^\circ 42^{\prime}. Transformă un grad în 60′60^{\prime} înainte să scazi.
  • Calculezi doar unghiul de lângă bisectoare și uiți unghiul adiacent. Dacă ți se cere unghiul dintre o latură și bisectoarea unui alt unghi, adună sau scade unghiurile pe figură, nu te opri la jumătatea lui.

Reține

  • Complementare: suma 90∘90^\circ. Suplementare: suma 180∘180^\circ. În jurul unui punct: 360∘360^\circ.
  • Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
  • Bisectoarea unui unghi de măsură aa formează două unghiuri de a2\dfrac{a}{2}.
  • Paralele cu o secantă: alterne interne egale, corespondente egale, interne de aceeași parte suplementare.
  • 1∘=60′1^\circ = 60^{\prime}; un unghi de 85′85^{\prime} înseamnă 1∘25′1^\circ 25^{\prime}.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce sunt unghiurile complementare și suplementare?+
    Răspuns:Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este 90∘90^\circ și suplementare dacă suma este 180∘180^\circ. Complementul unui unghi de aa grade este 90∘−a90^\circ - a, iar suplementul lui este 180∘−a180^\circ - a. Un unghi ascuțit are complement, un unghi obtuz are doar suplement.
  2. 2.Ce unghiuri sunt egale când două paralele sunt tăiate de o secantă?+
    Răspuns:Alternele interne sunt egale, corespondentele sunt egale, iar unghiurile opuse la vârf sunt egale. Unghiurile interne de aceeași parte (și cele externe de aceeași parte) nu sunt egale, ci suplementare. Din aceste egalități pornesc și criteriile de paralelism.
  3. 3.Cum aflu unghiul dintre două bisectoare?+
    Răspuns:Împarți fiecare unghi la doi, apoi aduni jumătățile care se învecinează, dacă bisectoarele sunt în unghiuri adiacente. Pentru unghiuri adiacente AOBAOB și BOCBOC, unghiul dintre bisectoarele lor este jumătate din suma celor două unghiuri.
  4. 4.Cum calculez cu grade și minute?+
    Răspuns:Aduni gradele cu gradele și minutele cu minutele. Dacă minutele depășesc 6060, transformi 60′60^{\prime} într-un grad. La scădere, dacă minutele descăzutului sunt mai puține, împrumuți un grad, adică 60′60^{\prime}, de la grade.
  5. 5.Cum apar unghiurile la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026 apar în fiecare an în subiectul al II-lea: o perpendiculară pe o dreaptă (2023), două paralele într-un triunghi (2024), unghiuri adiacente cu o bisectoare (2025) și două paralele tăiate de o secantă (2026). Unghiurile sunt și un pas în multe probleme de geometrie din subiectul al III-lea.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.