Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor pentru Evaluarea Națională

Teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor apar la Evaluarea Națională în fiecare an, în punctul b) al unei probleme din subiectul al III-lea, adică acolo unde se câștigă ultimele trei puncte. Ele leagă laturi paralele de rapoarte de lungimi și de arii. Mai jos ai teoremele, metoda pas cu pas, exemple rezolvate, o aplicație practică și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, în punctul b) al unei probleme din subiectul al III-lea (problema 4, 5 sau 6).

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Segmente proporționale: segmentele ABAB și CDCD sunt proporționale cu EFEF și GHGH dacă ABCD=\dfrac{AB}{CD} ={}EFGH \dfrac{EF}{GH}, adică AB⋅GH=AB \cdot GH ={}CD⋅EF CD \cdot EF. Un segment se împarte în părți proporționale cu numerele aa și bb în părți de aa+b\dfrac{a}{a + b} și ba+b\dfrac{b}{a + b} din lungimea lui.
  • Teorema paralelelor echidistante: dacă mai multe drepte paralele taie pe o secantă segmente congruente, ele taie segmente congruente și pe orice altă secantă.
  • Teorema lui Thales: dacă D∈ABD \in AB, E∈ACE \in AC și DE∥BCDE \parallel BC, atunci ADDB=\dfrac{AD}{DB} ={}AEEC \dfrac{AE}{EC}, ceea ce este totuna cu ADAB=\dfrac{AD}{AB} ={}AEAC \dfrac{AE}{AC}. Reciproca: dacă ADDB=\dfrac{AD}{DB} ={}AEEC \dfrac{AE}{EC}, atunci DE∥BCDE \parallel BC.
  • Teorema fundamentală a asemănării: dacă DE∥BCDE \parallel BC, atunci △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC, deci ADAB=\dfrac{AD}{AB} ={}AEAC= \dfrac{AE}{AC} ={}DEBC \dfrac{DE}{BC}. Teorema lui Thales dă raportul pe laturile care pleacă din AA, cea fundamentală îl dă și pentru DEDE și BCBC.
  • Triunghiuri asemenea au unghiurile congruente și laturile proporționale; △ABC∼△MNP\triangle ABC \sim \triangle MNP înseamnă că A↔MA \leftrightarrow M, B↔NB \leftrightarrow N, C↔PC \leftrightarrow P. Criterii: UU (două unghiuri congruente), LUL (un unghi congruent între laturi proporționale), LLL (trei laturi proporționale). Rapoartele laturilor corespondente sunt egale cu raportul de asemănare kk.
  • La triunghiuri asemenea cu raportul kk, perimetrele sunt în raportul kk, înălțimile și medianele corespondente tot în raportul kk, iar ariile în raportul k2k^2. Cu asemănarea poți aproxima și distanțe pe care nu le poți măsura direct, de exemplu înălțimea unui copac după umbra lui.
ABCDE

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Caută dreptele paralele sau unghiurile egale

    Thales și asemănarea pornesc de la o paralelă la o latură a triunghiului, de la două unghiuri egale sau de la rapoarte egale. Marchează-le pe figură. Dacă nu vezi nicio paralelă, uită-te la perpendicularele pe aceeași dreaptă, care sunt paralele între ele.

  2. 2.Alege perechea de triunghiuri

    Caută triunghiuri care au un vârf comun sau unghiuri opuse la vârf. Cu DE∥BCDE \parallel BC ai △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC, iar cu două paralele tăiate de două drepte ai triunghiuri cu unghiuri opuse la vârf.

  3. 3.Scrie vârfurile în ordinea corespondenței

    Scrie △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC cu vârfurile corespondente în aceeași ordine: A↔AA \leftrightarrow A, D↔BD \leftrightarrow B, E↔CE \leftrightarrow C. Din ordine citești laturile corespondente, adică cele opuse unghiurilor egale.

  4. 4.Scrie proporția și rezolv-o

    Scrie șirul de rapoarte egale, alege cele două rapoarte care conțin o singură necunoscută și aplică proprietatea fundamentală: produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

  5. 5.Folosește raportul pentru perimetre și arii

    Dacă ți se cere perimetrul sau înălțimea, înmulțește cu kk. Dacă ți se cere aria, înmulțește cu k2k^2. Verifică la final că latura din triunghiul mai mic a ieșit mai mică.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Thales cu o paralelă la bază

    În triunghiul ABCABC, D∈ABD \in AB și E∈ACE \in AC sunt astfel încât DE∥BCDE \parallel BC. Știi că AD=15AD = 15 cm, DB=5DB = 5 cm, AE=18AE = 18 cm și BC=32BC = 32 cm. Calculează lungimile ECEC și DEDE.
    ABCDE1551832

  2. 2.Reciproca teoremei lui Thales

    În triunghiul ABCABC, punctele M∈ABM \in AB și N∈ACN \in AC sunt astfel încât AM=4AM = 4 cm, MB=6MB = 6 cm, AN=6AN = 6 cm și NC=9NC = 9 cm. Arată că MN∥BCMN \parallel BC.

  3. 3.Perimetrul și aria a două triunghiuri asemenea

    Triunghiurile ABCABC și MNPMNP sunt asemenea, iar laturile corespondente AB=6AB = 6 cm și MN=9MN = 9 cm. Triunghiul ABCABC are perimetrul de 2020 cm și aria de 2424 cm². Calculează perimetrul și aria triunghiului MNPMNP.

  4. 4.Înălțimea unui copac după umbra lui

    La aceeași oră, un par vertical de 22 m aruncă o umbră de 1,51{,}5 m, iar un copac aruncă o umbră de 99 m. Care este înălțimea copacului?

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2024, matematică — subiectul al III-lea, 4.b)

Problema 4.b) (0–3 p)

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel ABCABC cu AB=ACAB = AC. Înălțimea din vârful AA intersectează latura BCBC în punctul DD și AD=BCAD = BC. Înălțimea din vârful BB intersectează latura ACAC în punctul EE. Înălțimile ADAD și BEBE se intersectează în punctul HH. b) Demonstrează că AH=3⋅HDAH = 3 \cdot HD.ABCDEH

Sursa: CNPEE, Evaluarea Națională 2024, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 4.b) (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 5.b)

Problema 5.b) (0–3 p)

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10AB = 10 cm și AD=8AD = 8 cm. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.ABCDMNTQb) Calculează valoarea raportului AQQM\frac{AQ}{QM}.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 5.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
exercițiu Kleksa

Întrebarea 1. (0–5)

În triunghiul ABCABC, punctul MM aparține laturii ABAB, iar punctul NN aparține laturii ACAC, astfel încât MN∥BCMN \parallel BC. Știind că AM=3AM = 3 cm, MB=2MB = 2 cm și MN=6MN = 6 cm, lungimea laturii BCBC este egală cu:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 2. (0–5)

Afirmația: „Triunghiul cu laturile de 33 cm, 44 cm și 55 cm este asemenea cu triunghiul cu laturile de 66 cm, 88 cm și 1111 cm.” este:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

exercițiu Kleksa

Întrebarea 3. (0–5)

Un segment cu lungimea de 3535 cm este împărțit în două părți proporționale cu numerele 22 și 55. Lungimea părții mai mari, în centimetri, este:

Exercițiu scris pentru această pagină — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Compari părți cu întregul. Din DE∥BCDE \parallel BC ai ADDB=\dfrac{AD}{DB} ={}AEEC \dfrac{AE}{EC} (părți cu părți) sau ADAB=\dfrac{AD}{AB} ={}AEAC \dfrac{AE}{AC} (părți cu întregul), dar nu ADDB=\dfrac{AD}{DB} ={}AEAC \dfrac{AE}{AC}. Verifică dacă la numitor stau două segmente de același fel.
  • Aplici teorema lui Thales fără paralelism. Dacă nu ai DE∥BCDE \parallel BC dat sau demonstrat, nu poți scrie proporția. Invers, dacă rapoartele sunt egale, folosești reciproca pentru a demonstra paralelismul.
  • Scrii asemănarea cu vârfurile în ordine greșită. În △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC, latura DEDE corespunde lui BCBC, nu lui ABAB. Citește corespondența din ordinea literelor sau după unghiurile egale și compară doar laturile opuse acestor unghiuri.
  • Folosești raportul de asemănare și pentru arii. Dacă laturile sunt în raportul kk, ariile sunt în raportul k2k^2. Pentru k=3k = 3, aria se înmulțește cu 99, nu cu 33. Perimetrul, în schimb, se înmulțește cu kk.
  • Uiți să arăți de ce triunghiurile sunt asemenea. La subiectul al III-lea scrie criteriul sau teorema pe care o folosești (UU, „din DE∥BCDE \parallel BC rezultă △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC”), nu doar proporția.

Reține

  • Thales: DE∥BC⇒ADDB=DE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AD}{DB} ={}AEEC \dfrac{AE}{EC} și ADAB=\dfrac{AD}{AB} ={}AEAC \dfrac{AE}{AC}. Reciproca: rapoarte egale ⇒\Rightarrow paralele.
  • Teorema fundamentală: DE∥BC⇒△ADE∼△ABCDE \parallel BC \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC, ADAB=\dfrac{AD}{AB} ={}AEAC= \dfrac{AE}{AC} ={}DEBC \dfrac{DE}{BC}.
  • Criterii de asemănare: UU, LUL, LLL.
  • Raport de asemănare kk: perimetre kk, înălțimi și mediane kk, arii k2k^2.
  • Părți proporționale cu aa și bb: aa+b\dfrac{a}{a + b} și ba+b\dfrac{b}{a + b} din segment.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce spune teorema lui Thales?+
    Răspuns:Dacă o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi, ea determină pe ele segmente proporționale. Pentru DE∥BCDE \parallel BC, cu D∈ABD \in AB și E∈ACE \in AC, avem ADDB=\dfrac{AD}{DB} ={}AEEC \dfrac{AE}{EC}. Din ea rezultă și ADAB=\dfrac{AD}{AB} ={}AEAC \dfrac{AE}{AC}.
  2. 2.Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării?+
    Răspuns:Thales leagă segmentele de pe cele două laturi tăiate de paralelă. Teorema fundamentală spune mai mult: triunghiul mic ADEADE este asemenea cu ABCABC, deci și DEDE stă față de BCBC în același raport. Când ai nevoie de lungimea lui DEDE, folosești teorema fundamentală.
  3. 3.Cum arăt că două triunghiuri sunt asemenea?+
    Răspuns:Cu un criteriu: UU (două unghiuri congruente, de obicei din paralele sau din unghiuri opuse la vârf), LUL (un unghi congruent între laturi proporționale) sau LLL (trei laturi proporționale). Scrie apoi asemănarea cu vârfurile în ordinea corespondenței.
  4. 4.Cum se schimbă aria când triunghiurile sunt asemenea?+
    Răspuns:Dacă raportul de asemănare este kk, raportul ariilor este k2k^2. De exemplu, un triunghi cu laturile de două ori mai mari are aria de patru ori mai mare. Perimetrele și înălțimile corespondente sunt în raportul kk.
  5. 5.Cum apar Thales și asemănarea la Evaluarea Națională?+
    Răspuns:În iunie 2023–2026 au apărut în fiecare an, de fiecare dată în punctul b) al unei probleme din subiectul al III-lea: o lungime într-un dreptunghi (2023), o egalitate de lungimi într-un triunghi isoscel (2024), o arie într-un trapez dreptunghic și o perpendicularitate într-un cub (2025) și un raport de segmente într-un paralelogram (2026).
  6. 6.Cum împart un segment în părți proporționale cu două numere?+
    Răspuns:Notezi părțile cu akak și bkbk, scrii că suma lor este lungimea segmentului și afli kk. Apoi înmulțești kk cu fiecare număr. Se poate și geometric, cu paralele echidistante duse printr-un unghi.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.