Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny?

Policz różnice kolejnych wyrazów: $a_2 - a_1$, $a_3 - a_2$ i tak dalej. Jeśli wszystkie są równe tej samej liczbie, ciąg jest arytmetyczny, a ta liczba to jego różnica $r$. Gdy ciąg jest dany wzorem, oblicz $a_{n+1} - a_n$: dla $a_n = 3n + 5$ wychodzi zawsze $3$, więc ciąg jest arytmetyczny.

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

Wzór to $a_n = a_1 + (n - 1)r$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ to różnica. Na przykład dla $a_1 = 5$ i $r = 3$ dziesiąty wyraz to $5 + 9 \cdot 3 = 32$. Wzór jest na karcie wzorów CKE, na stronie 9.

Jak obliczyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego?

Dodaj pierwszy i ostatni wyraz, podziel przez $2$ i pomnóż przez liczbę wyrazów: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Gdy nie znasz ostatniego wyrazu, użyj drugiej postaci: $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$. Dla $a_1 = 2$, $r = 4$ i $n = 8$ suma to $\frac{4 + 28}{2} \cdot 8 = 128$.

Jaki jest wzór na n-ty wyraz i na sumę ciągu geometrycznego?

Wyraz: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, gdzie $q$ to iloraz. Suma $n$ początkowych wyrazów: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$, gdy $q \neq 1$. Dla $a_1 = 3$ i $q = 2$ szósty wyraz to $96$, a suma sześciu wyrazów to $189$.

Jak znaleźć brakujący wyraz trzech kolejnych wyrazów ciągu?

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich: $b = \frac{a + c}{2}$, więc dla $(5, x, 13)$ masz $x = 9$. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem sąsiednich: $b^2 = a \cdot c$, więc dla $(4, x, 9)$ masz $x = 6$ albo $x = -6$. Te same równości pozwalają sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg.

Czy suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest na maturze podstawowej?

Nie. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego i granice ciągów to wymagania z zakresu rozszerzonego, choć ich wzory stoją na stronie 10 broszury CKE. Na poziomie podstawowym liczysz sumę skończonej liczby wyrazów, wyrazy ze wzoru ogólnego lub rekurencyjnego i sprawdzasz, czy ciąg jest arytmetyczny, geometryczny, rosnący albo malejący.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ciągi to jeden z najpewniejszych tematów matury podstawowej: CKE pyta o nie co roku w kilku zadaniach, a wystarczy kilka wzorów z karty. W ciągu arytmetycznym do każdego wyrazu dodajesz tę samą liczbę, w geometrycznym mnożysz przez tę samą liczbę. Tu nauczysz się rozpoznawać oba ciągi, liczyć dowolny wyraz i sumę początkowych wyrazów, znajdować brakujący wyraz i rozwiązywać zadania z kontekstem, takie jak raty czy oszczędzanie.

Na maturze podstawowej: w każdym z arkuszy 2023–2026, co roku w trzech zadaniach, w tym w jednym otwartym.

liceum, zakres podstawowy
matura

Najważniejsze

to musisz umieć

Ciąg to liczby ustawione po kolei: $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ i tak dalej. Może być dany wzorem ogólnym, na przykład $a_n = 3n + 5$ , z którego liczysz dowolny wyraz, albo rekurencyjnie: podany jest pierwszy wyraz i przepis na następny, na przykład $a_{n+1} = 2a_n + 1$ .
Ciąg arytmetyczny: każdy następny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby $r$ , zwanej różnicą: $a_{n+1} = a_n + r$ . Wzór na $n$ -ty wyraz: $a_n = a_1 + (n - 1)r$ . Gdy $r > 0$ , ciąg jest rosnący, gdy $r < 0$ , malejący.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_n ={}$ $\frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n ={}$ $\frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$ . To średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.
Ciąg geometryczny: każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie przez tę samą liczbę $q$ , zwaną ilorazem: $a_{n+1} = a_n \cdot q$ . Wzór na $n$ -ty wyraz: $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ .
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: $S_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ , a dla $q = 1$ po prostu $S_n = n \cdot a_1$ .
Trzy kolejne wyrazy $a$ , $b$ , $c$ : w ciągu arytmetycznym środkowy jest średnią sąsiednich, $b = \frac{a + c}{2}$ ; w ciągu geometrycznym jego kwadrat jest iloczynem sąsiednich, $b^2 = a \cdot c$ .

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Rozpoznaj ciąg
Odejmij od każdego wyrazu poprzedni: stała różnica oznacza ciąg arytmetyczny. Podziel każdy wyraz przez poprzedni: stały iloraz oznacza ciąg geometryczny. Gdy ciąg jest dany wzorem, policz trzy pierwsze wyrazy i porównaj.
2.Zapisz dane przez pierwszy wyraz
Każdy wyraz, o którym mówi zadanie, zapisz przez $a_1$ i $r$ albo przez $a_1$ i $q$ , na przykład $a_5 = a_1 + 4r$ albo $a_5 = a_1 q^4$ . Dwa takie warunki dają dwa równania z dwiema niewiadomymi.
3.Skróć drogę różnicą wyrazów
W ciągu arytmetycznym $a_m - a_k = (m - k)r$ , więc z dwóch dowolnych wyrazów od razu dostajesz różnicę. W geometrycznym analogicznie $a_m ={}$ $a_k \cdot q^{m-k}$ .
4.Wybierz wzór i policz
Pytanie o jeden wyraz to wzór na $n$ -ty wyraz, pytanie o łączną kwotę, liczbę albo drogę to wzór na sumę. Sprawdź, ile wyrazów liczysz: od pierwszego do $n$ -tego jest ich $n$ .
5.Sprawdź wynik
Wypisz kilka pierwszych wyrazów z obliczonych $a_1$ i $r$ albo $q$ i sprawdź, czy spełniają warunki zadania. Uważaj na ujemny iloraz: wtedy znaki wyrazów się zmieniają.

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Ciąg arytmetyczny z dwóch wyrazów
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ wyraz trzeci jest równy $7$ , a wyraz ósmy jest równy $22$ . Oblicz wyraz dwudziesty i sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu.
2.Wyraz i suma ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny $(a_n)$ ma pierwszy wyraz $3$ i iloraz $2$ . Oblicz szósty wyraz i sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
3.Oszczędzanie co miesiąc o tyle samo więcej
Ola odłożyła w styczniu $50$ zł, a w każdym następnym miesiącu odkładała o $10$ zł więcej niż w poprzednim. Oblicz, ile złotych odłożyła przez cały rok, od stycznia do grudnia.
4.Brakujący wyraz ciągu geometrycznego
Trzywyrazowy ciąg $(4, x, 9)$ jest geometryczny, a jego wyrazy są dodatnie. Oblicz $x$ .

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 15

Zadanie 15. (0–3 pkt)

Ciąg

(a_n)

jest określony wzorem

a_n = 3n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Trzywyrazowy ciąg

(a_1, a_9, a_k)

jest geometryczny. Oblicz

k

. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 15 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Ciąg arytmetyczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_1 = 1

oraz

a_5 = 17

. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziewiąty wyraz ciągu

(a_n)

jest równy

Zadanie 16 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 2. (0–1)

Ciąg geometryczny

(a_n)

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek

a_3 \cdot a_6 = 18

. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Iloczyn

a_2 \cdot a_7

jest równy .

Zadanie 17 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

matura

Zadanie 3. (0–1)

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

dane są:

a_1 = 13

oraz różnica

r = 4

. Oblicz

a_{17}

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

dane są:

a_1 = 7

oraz różnica

r = 6

. Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 5. (0–1)

W ciągu geometrycznym

(a_n)

dane są:

a_1 = 5

oraz iloraz

q = 2

. Oblicz

a_{6}

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Zadanie otwarte krok po kroku

Zadanie otwarte w formacie CKE, napisane przez nas. Rozwiąż je na kartce, potem porównaj z rozwiązaniem i punktacją.

matura(0–2 pkt)

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

dane są wyrazy

a_3 = -5

oraz

a_7 = -17

. Oblicz różnicę tego ciągu oraz jego pierwszy wyraz.

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Wzór $a_n = a_1 + n \cdot r$ zamiast $a_n = a_1 + (n - 1)r$ . Do pierwszego wyrazu różnicę dodajesz o jeden raz mniej, niż wynosi numer wyrazu: $a_5 = a_1 + 4r$ .
Wzór $a_n = a_1 \cdot q^n$ zamiast $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ w ciągu geometrycznym. Dla $a_1 = 3$ i $q = 2$ szósty wyraz to $3 \cdot 2^5 = 96$ , a nie $3 \cdot 2^6 = 192$ .
Pomylenie liczby wyrazów w sumie. Jeśli raty płacisz przez $18$ miesięcy, to sumujesz $18$ wyrazów, a w ostatnim wyrazie $a_{18}$ różnica występuje $17$ razy.
Zgubienie drugiego rozwiązania przy brakującym wyrazie ciągu geometrycznego. Z $x^2 = 36$ wynika $x = 6$ albo $x = -6$ ; odrzuć jedno z nich tylko wtedy, gdy zadanie daje taki warunek.
Uznanie ciągu geometrycznego za rosnący tylko dlatego, że $q > 1$ . Ciąg o ujemnym pierwszym wyrazie i ilorazie $2$ , na przykład $-1, -2, -4$ , jest malejący, a przy ujemnym ilorazie ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.

Do zapamiętania

Arytmetyczny: $a_n = a_1 + (n - 1)r$ , $S_n ={}$ $\frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ .
Geometryczny: $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ , $S_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ .
Trzy kolejne wyrazy: arytmetyczny $2b = a + c$ , geometryczny $b^2 = a \cdot c$ .
Z dwóch wyrazów: $a_m - a_k = (m - k)r$ oraz $a_m ={}$ $a_k \cdot q^{m-k}$ .
Różnica $r > 0$ : ciąg arytmetyczny rosnący; $r < 0$ : malejący; $r = 0$ : stały.

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Ciągi§ 8 · strona 9–11

Na stronie 9 broszury, w części o ciągach, są wzory na

n

-ty wyraz i na sumę

n

początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, związek trzech kolejnych wyrazów

a_n ={}

\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

oraz wzory na

n

-ty wyraz i sumę ciągu geometrycznego.

Na stronie 10 jest związek trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego,

a_n^2 ={}

a_{n-1} \cdot a_{n+1}

, i wzór na procent składany

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

: kapitały po kolejnych latach tworzą ciąg geometryczny o ilorazie

1 + \frac{p}{100}

. Na tej stronie są też suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego i twierdzenia o granicach ciągów, ale to materiał z zakresu rozszerzonego, którego na maturze podstawowej nie ma.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny?+
Odp.:Policz różnice kolejnych wyrazów: $a_2 - a_1$ , $a_3 - a_2$ i tak dalej. Jeśli wszystkie są równe tej samej liczbie, ciąg jest arytmetyczny, a ta liczba to jego różnica $r$ . Gdy ciąg jest dany wzorem, oblicz $a_{n+1} - a_n$ : dla $a_n = 3n + 5$ wychodzi zawsze $3$ , więc ciąg jest arytmetyczny.
2.Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?+
Odp.:Wzór to $a_n = a_1 + (n - 1)r$ , gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ to różnica. Na przykład dla $a_1 = 5$ i $r = 3$ dziesiąty wyraz to $5 + 9 \cdot 3 = 32$ . Wzór jest na karcie wzorów CKE, na stronie 9.
3.Jak obliczyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego?+
Odp.:Dodaj pierwszy i ostatni wyraz, podziel przez $2$ i pomnóż przez liczbę wyrazów: $S_n ={}$ $\frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ . Gdy nie znasz ostatniego wyrazu, użyj drugiej postaci: $S_n ={}$ $\frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$ . Dla $a_1 = 2$ , $r = 4$ i $n = 8$ suma to $\frac{4 + 28}{2} \cdot 8 ={}$ $128$ .
4.Jaki jest wzór na n-ty wyraz i na sumę ciągu geometrycznego?+
Odp.:Wyraz: $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ , gdzie $q$ to iloraz. Suma $n$ początkowych wyrazów: $S_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$ . Dla $a_1 = 3$ i $q = 2$ szósty wyraz to $96$ , a suma sześciu wyrazów to $189$ .
5.Jak znaleźć brakujący wyraz trzech kolejnych wyrazów ciągu?+
Odp.:W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich: $b = \frac{a + c}{2}$ , więc dla $(5, x, 13)$ masz $x = 9$ . W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem sąsiednich: $b^2 = a \cdot c$ , więc dla $(4, x, 9)$ masz $x = 6$ albo $x = -6$ . Te same równości pozwalają sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg.
6.Czy suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest na maturze podstawowej?+
Odp.:Nie. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego i granice ciągów to wymagania z zakresu rozszerzonego, choć ich wzory stoją na stronie 10 broszury CKE. Na poziomie podstawowym liczysz sumę skończonej liczby wyrazów, wyrazy ze wzoru ogólnego lub rekurencyjnego i sprawdzasz, czy ciąg jest arytmetyczny, geometryczny, rosnący albo malejący.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Rozpoznaj ciąg

2.Zapisz dane przez pierwszy wyraz

3.Skróć drogę różnicą wyrazów

4.Wybierz wzór i policz

5.Sprawdź wynik

Przykłady

1.Ciąg arytmetyczny z dwóch wyrazów

2.Wyraz i suma ciągu geometrycznego

3.Oszczędzanie co miesiąc o tyle samo więcej

4.Brakujący wyraz ciągu geometrycznego

Zadanie z egzaminu

Sprawdź się

Zadanie otwarte krok po kroku

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła