Jak obliczyć prawdopodobieństwo?

Policz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia i te, które spełniają warunek zadania, a potem podziel drugą liczbę przez pierwszą: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$. Ten wzór działa wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, jak przy symetrycznej kostce, monecie czy losowaniu jednej z jednakowych kul.

Co to jest reguła mnożenia?

To sposób liczenia wyników, gdy wybierasz kilka rzeczy po kolei. Jeśli pierwszy wybór masz na $m$ sposobów, a drugi na $n$ sposobów, to oba razem na $m \cdot n$ sposobów. Przykład: z $3$ koszulek i $4$ par spodni ułożysz $12$ zestawów. Reguła mnożenia jest wymaganiem matury podstawowej i działa dla dowolnej liczby kolejnych wyborów.

Kiedy dodawać, a kiedy mnożyć?

Mnożysz, gdy wynik składa się z kilku kolejnych wyborów: cyfra setek i cyfra dziesiątek, pierwszy i drugi rzut. Dodajesz, gdy dzielisz wyniki na przypadki, które się wykluczają: liczba kończy się zerem albo inną cyfrą parzystą. W trudniejszych zadaniach robisz jedno i drugie, jak w przykładzie z liczbami trzycyfrowymi parzystymi.

Ile jest wyników przy rzucie dwiema kostkami?

Trzydzieści sześć, bo pierwsza kostka daje $6$ wyników, druga też $6$, a $6 \cdot 6 = 36$. Wynik zapisujesz jako parę uporządkowaną, więc $(2, 5)$ i $(5, 2)$ to dwa różne wyniki. Przy sumach oczek najwygodniej narysować tabelę $6 \times 6$ i zaznaczyć w niej pola z szukaną sumą.

Czy na maturze podstawowej są permutacje i symbol Newtona?

Wzory na permutacje, kombinacje i symbol Newtona nie obowiązują na poziomie podstawowym: należą do zakresu rozszerzonego. Zadania matury podstawowej da się rozwiązać regułą mnożenia i dodawania. Na przykład czterocyfrowych kodów, w których każda z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$ występuje dokładnie raz, jest $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ i nie potrzebujesz do tego żadnego wzoru.

Co z prawdopodobieństwa trzeba umieć na egzaminie ósmoklasisty?

Obliczać prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach: rzucie monetą, rzucie kostką i losowaniu jednej kuli albo jednego losu. Wyniki liczysz, wypisując je albo porządnie licząc, bez reguły mnożenia, która należy do wymagań liceum. Często trzeba też policzyć, ile kul zostało w pudełku po wcześniejszym losowaniu.

Czy na maturze z matematyki można korzystać z kalkulatora?

Tak. Według komunikatu CKE o przyborach na maturze z matematyki obowiązkowy jest kalkulator prosty, a szkoła daje broszurę „Wybrane wzory matematyczne”. Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie ma karty wzorów, a kalkulator dostaje tylko uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. W rachunku prawdopodobieństwa kalkulator rzadko jest potrzebny: liczby są małe, a wynik zostawiasz jako ułamek.

Matura 2027 · matematyka, poziom podstawowy

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Prawdopodobieństwo mówi, jak często można się spodziewać danego wyniku: przy rzucie kostką szóstka wypada z prawdopodobieństwem $\frac{1}{6}$ . Na tej stronie nauczysz się liczyć wyniki doświadczenia regułą mnożenia i dodawania, obliczać prawdopodobieństwo w modelu klasycznym, rozróżniać losowanie ze zwracaniem i bez zwracania oraz korzystać ze zdarzenia przeciwnego. Znajdziesz tu zadania z arkuszy CKE matury i egzaminu ósmoklasisty z rozwiązaniami i zadania do sprawdzenia od razu na stronie.

Na maturze podstawowej: w 4 z 4 arkuszy 2023–2026, za każdym razem w dwóch zadaniach; na egzaminie ósmoklasisty: w 3 z 4.

kl. VII–VIII
liceum, zakres podstawowy
matura
egzamin ósmoklasisty

Najważniejsze

to musisz umieć

Wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego to zdarzenia elementarne, a ich zbiór oznaczasz $\Omega$ . Zdarzenie $A$ to zbiór wyników, o które pyta zadanie: to wyniki sprzyjające zdarzeniu $A$ . Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, $P(A) ={}$ $\frac{|A|}{|\Omega|}$ : liczba wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.
Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od $0$ do $1$ . Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo $0$ , pewne $1$ , a zdarzenie przeciwne do $A$ ma prawdopodobieństwo $P(A^\prime) ={}$ $1 - P(A)$ .
Reguła mnożenia: jeśli pierwszy wybór możesz zrobić na $m$ sposobów, a drugi, niezależnie od pierwszego, na $n$ sposobów, to oba razem na $m \cdot n$ sposobów. Dwa rzuty kostką dają $6 \cdot 6 = 36$ wyników, a liczb trzycyfrowych jest $9 \cdot 10 \cdot 10 ={}$ $900$ , bo pierwsza cyfra nie może być zerem.
Reguła dodawania: jeśli wyniki dzielą się na przypadki, które się wykluczają, liczysz każdy przypadek osobno i dodajesz. Liczb dwucyfrowych zaczynających się cyfrą $1$ albo $2$ jest $10 + 10 = 20$ .
Losując ze zwracaniem dwa razy z $n$ elementów, masz $n \cdot n$ wyników; bez zwracania masz $n \cdot (n - 1)$ , bo wylosowany element nie wraca.
Na karcie wzorów są też permutacje, kombinacje i symbol Newtona, ale wzory na nie należą do zakresu rozszerzonego. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa i schemat Bernoullego również należą do zakresu rozszerzonego. Na poziomie podstawowym wszystko policzysz regułą mnożenia i dodawania.

Jak to policzyć krok po kroku

po kolei

1.Opisz, co jest wynikiem
Ustal, jak wygląda jeden wynik doświadczenia: liczba oczek, para liczb z dwóch rzutów, liczba dwucyfrowa, kolor kuli. Przy dwóch losowaniach wynik to para uporządkowana, więc $(5, 6)$ i $(6, 5)$ to dwa różne wyniki.
2.Policz wszystkie wyniki
Policz $|\Omega|$ regułą mnożenia. Sprawdź, czy losowanie jest ze zwracaniem, czy bez, i czy jakaś pozycja ma ograniczenie, na przykład pierwsza cyfra liczby nie może być zerem.
3.Policz wyniki sprzyjające
Wypisz wyniki sprzyjające albo policz je regułą mnożenia i dodawania. Przy dwóch kostkach pomaga tabela $6 \times 6$ , w której zaznaczasz pola spełniające warunek.
4.Podziel i skróć
Zapisz $P(A) ={}$ $\frac{|A|}{|\Omega|}$ i skróć ułamek, jeśli się da. Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych bywają zapisane bez skracania, na przykład $\frac{2}{36}$ .
5.Sprawdź albo policz inaczej
Wynik musi być między $0$ a $1$ . Gdy zdarzenie zawiera słowa „co najmniej jeden”, często łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne i odjąć jego prawdopodobieństwo od $1$ .

Przykłady

Spróbuj najpierw sam, potem porównaj z rozwiązaniem. Każdą liczbę przeliczyliśmy jeszcze raz.

1.Dwie kostki i suma oczek
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie równa $7$ .
2.Reguła mnożenia i dodawania razem
Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, w których zapisie żadna cyfra się nie powtarza.
3.Losowanie bez zwracania
W urnie są $3$ kule białe i $2$ czarne. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule będą białe.
4.Zdarzenie przeciwne
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie orzeł.

Zadanie z egzaminu

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do rozwiązania.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura, poziom podstawowy 2026, zadanie 30

Zadanie 30. (0–2 pkt)

Dane są dwa zbiory cyfr:

X = \{1, 3, 5, 7, 9\}

oraz

Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}

. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru

Y

. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru

X

jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru

Y

jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez

6

. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, matura z matematyki, poziom podstawowy 2026, arkusz MMAP-P0-100-2605, zadanie 30 · Arkusz na stronie CKE · Rozwiąż cały arkusz za darmo

Na egzaminie ósmoklasisty

Na egzaminie ósmoklasisty prawdopodobieństwo pojawia się w prostych doświadczeniach: rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, rzut kostką wielościenną i losowanie jednej kuli albo jednego losu. Liczysz wtedy, ile jest wszystkich wyników i ile z nich sprzyja zdarzeniu, o które pyta zadanie, a potem dzielisz drugą liczbę przez pierwszą. Przy rzucie kostką prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez

3

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

, bo pasują tylko

3

6

Liczenie obiektów na egzaminie ósmoklasisty polega na ich wypisaniu albo uporządkowanym policzeniu. Reguła mnożenia i reguła dodawania nie obowiązują w szkole podstawowej, więc w zadaniach egzaminu ósmoklasisty wyników jest zwykle tak mało, że da się je wypisać albo policzyć bezpośrednio.

Uważaj na zadania, w których coś już wylosowano. Jeśli z pudełka z

10

kulami, w tym

4

czerwonymi, wyjęto jedną czerwoną i jej nie oddano, to przy następnym losowaniu zostało

9

kul, w tym

3

czerwone, a prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej wynosi

\frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Zadanie z arkusza CKEegzamin ósmoklasisty

Egzamin ósmoklasisty 2025, zadanie 10

Zadanie 10. (0–1)

Na loterię przygotowano

72

losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi od

1

72

. Wygrywają losy o numerach od

1

9

i od

46

72

. Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe

Źródło: CKE, egzamin ósmoklasisty 2025, arkusz OMAP-100-2505, zadanie 10 · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie.

matura

Zadanie 1. (0–1)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry ze zbioru

\{1, 3, 7\}

i żadna cyfra się nie powtarza?

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 2. (0–1)

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry ze zbioru

\{0, 4, 5, 6, 7\}

i żadna cyfra się nie powtarza?

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

egzamin ósmoklasisty

Zadanie 3. (0–1)

W pudełku są 4 kule czerwone, 2 kule niebieskie i 7 kul zielonych. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe

Zadanie Kleksy w formacie CKE — wyjaśnienie Kleksy.

matura

Zadanie 4. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0

1

2

3

4

5

6

(np.:

321

555

), jest

Zadanie 29 z arkusza CKE MMAP-P0-100-2605 (matura, poziom podstawowy 2026) — wyjaśnienie Kleksy

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z 2026 roku

Częste błędy

tu najłatwiej stracić punkt

Pary nieuporządkowane przy dwóch rzutach. Sumę $11$ na dwóch kostkach dają dwa wyniki: $(5, 6)$ i $(6, 5)$ . Prawdopodobieństwo wynosi więc $\frac{2}{36}$ , a nie $\frac{1}{36}$ .
Pomylenie losowania ze zwracaniem i bez zwracania. Z $5$ kul losowanych dwa razy ze zwracaniem masz $5 \cdot 5 = 25$ wyników, a bez zwracania tylko $5 \cdot 4 = 20$ .
Zero na początku liczby. Licząc liczby trzycyfrowe z cyfr $0$ , $2$ , $3$ , $8$ , $9$ , cyfrę setek wybierasz na $4$ sposoby, a nie na $5$ , bo liczba nie może zaczynać się od zera.
Dodawanie zamiast mnożenia. Gdy wybierasz kolejno dwie rzeczy, na przykład koszulkę z $3$ i spodnie z $4$ , zestawów jest $3 \cdot 4 = 12$ . Dodajesz tylko wtedy, gdy wybierasz jedną rzecz spośród przypadków, które się wykluczają.
Wynik większy od $1$ . Jeśli wyszło ci $\frac{36}{25}$ , zamieniłeś licznik z mianownikiem: wyników sprzyjających nigdy nie jest więcej niż wszystkich.

Do zapamiętania

$P(A) ={}$ $\frac{|A|}{|\Omega|}$ , gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
$0 \le P(A) \le 1$ oraz $P(A^\prime) ={}$ $1 - P(A)$ .
Reguła mnożenia: kolejne wybory mnożysz. Reguła dodawania: rozłączne przypadki dodajesz.
Dwa rzuty kostką: $36$ wyników; trzy rzuty monetą: $8$ wyników.
Ze zwracaniem: $n \cdot n$ ; bez zwracania: $n \cdot (n - 1)$ .
Liczba nie zaczyna się od zera: pierwszą cyfrę wybierasz bez $0$ .

Na karcie wzorów

Na maturze dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Tu znajdziesz to, czego potrzebujesz w tym temacie.

Rachunek prawdopodobieństwa§ 14 · strona 29–31

Część Kombinatoryka, która w broszurze poprzedza rachunek prawdopodobieństwa, podaje wzory na permutacje, kombinacje i wariacje. Wzory te należą do zakresu rozszerzonego, a na poziomie podstawowym te same liczby otrzymasz regułą mnożenia, na przykład

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 ={}

24

ustawienia czterech cyfr.

Na stronie 29 jest część Rachunek prawdopodobieństwa: własności prawdopodobieństwa, w tym wzór na zdarzenie przeciwne, i klasyczna definicja

P(A) ={}

\frac{|A|}{|\Omega|}

. Schemat Bernoullego ze strony 29 oraz prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa ze strony 30 należą do zakresu rozszerzonego.

Wybrane wzory matematyczne (PDF, CKE)

Pytania i odpowiedzi

1.Jak obliczyć prawdopodobieństwo?+
Odp.:Policz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia i te, które spełniają warunek zadania, a potem podziel drugą liczbę przez pierwszą: $P(A) ={}$ $\frac{|A|}{|\Omega|}$ . Ten wzór działa wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, jak przy symetrycznej kostce, monecie czy losowaniu jednej z jednakowych kul.
2.Co to jest reguła mnożenia?+
Odp.:To sposób liczenia wyników, gdy wybierasz kilka rzeczy po kolei. Jeśli pierwszy wybór masz na $m$ sposobów, a drugi na $n$ sposobów, to oba razem na $m \cdot n$ sposobów. Przykład: z $3$ koszulek i $4$ par spodni ułożysz $12$ zestawów. Reguła mnożenia jest wymaganiem matury podstawowej i działa dla dowolnej liczby kolejnych wyborów.
3.Kiedy dodawać, a kiedy mnożyć?+
Odp.:Mnożysz, gdy wynik składa się z kilku kolejnych wyborów: cyfra setek i cyfra dziesiątek, pierwszy i drugi rzut. Dodajesz, gdy dzielisz wyniki na przypadki, które się wykluczają: liczba kończy się zerem albo inną cyfrą parzystą. W trudniejszych zadaniach robisz jedno i drugie, jak w przykładzie z liczbami trzycyfrowymi parzystymi.
4.Ile jest wyników przy rzucie dwiema kostkami?+
Odp.:Trzydzieści sześć, bo pierwsza kostka daje $6$ wyników, druga też $6$ , a $6 \cdot 6 = 36$ . Wynik zapisujesz jako parę uporządkowaną, więc $(2, 5)$ i $(5, 2)$ to dwa różne wyniki. Przy sumach oczek najwygodniej narysować tabelę $6 \times 6$ i zaznaczyć w niej pola z szukaną sumą.
5.Czy na maturze podstawowej są permutacje i symbol Newtona?+
Odp.:Wzory na permutacje, kombinacje i symbol Newtona nie obowiązują na poziomie podstawowym: należą do zakresu rozszerzonego. Zadania matury podstawowej da się rozwiązać regułą mnożenia i dodawania. Na przykład czterocyfrowych kodów, w których każda z cyfr $1$ , $3$ , $6$ , $8$ występuje dokładnie raz, jest $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 ={}$ $24$ i nie potrzebujesz do tego żadnego wzoru.
6.Co z prawdopodobieństwa trzeba umieć na egzaminie ósmoklasisty?+
Odp.:Obliczać prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach: rzucie monetą, rzucie kostką i losowaniu jednej kuli albo jednego losu. Wyniki liczysz, wypisując je albo porządnie licząc, bez reguły mnożenia, która należy do wymagań liceum. Często trzeba też policzyć, ile kul zostało w pudełku po wcześniejszym losowaniu.
7.Czy na maturze z matematyki można korzystać z kalkulatora?+
Odp.:Tak. Według komunikatu CKE o przyborach na maturze z matematyki obowiązkowy jest kalkulator prosty, a szkoła daje broszurę „Wybrane wzory matematyczne”. Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie ma karty wzorów, a kalkulator dostaje tylko uczeń, któremu przyznano takie dostosowanie. W rachunku prawdopodobieństwa kalkulator rzadko jest potrzebny: liczby są małe, a wynik zostawiasz jako ułamek.

Zobacz też

Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Źródła

Wymagania pochodzą z podstawy programowej, zadania i klucze odpowiedzi — z arkuszy CKE. Opis tematu, przykłady, rozwiązania i nasze zadania napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 25 października 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Najważniejsze

Jak to policzyć krok po kroku

1.Opisz, co jest wynikiem

2.Policz wszystkie wyniki

3.Policz wyniki sprzyjające

4.Podziel i skróć

5.Sprawdź albo policz inaczej

Przykłady

1.Dwie kostki i suma oczek

2.Reguła mnożenia i dodawania razem

3.Losowanie bez zwracania

4.Zdarzenie przeciwne

Zadanie z egzaminu

Na egzaminie ósmoklasisty

Sprawdź się

Częste błędy

Do zapamiętania

Na karcie wzorów

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła