Wann nehme ich die große und wann die kleine Lösungsformel?

Steht vor $x^2$ eine 1, also in der Normalform, ist die kleine Lösungsformel kürzer. Hat die Gleichung einen anderen Koeffizienten $a$, verwendest du entweder die große Formel oder du dividierst die ganze Gleichung durch $a$ und nimmst dann die kleine. Beide führen zu denselben Lösungen.

Woran erkennst du, wie viele reelle Lösungen es gibt?

Am Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel. Ist er positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist er null, gibt es genau eine, und ist er negativ, gibt es keine reelle Lösung, weil du aus einer negativen Zahl in $\mathbb{R}$ keine Wurzel ziehen kannst. Bei Aufgaben mit Parameter stellst du aus dieser Bedingung eine Ungleichung auf.

Muss ich die Lösungsformeln auswendig können?

Beide Formeln, den Satz von Vieta und die Zerlegung in Linearfaktoren findest du im Kapitel 5 der Formelsammlung auf Seite 4. Nicht dort steht, was die Lösungsfälle bedeuten und wie du eine Gleichung auf null bringst. Das musst du selbst können, ebenso das Deuten der Lösungen im Kontext.

Darf ich eine quadratische Gleichung mit der Technologie lösen?

Ja, die Technologie ist in der ganzen Klausur erlaubt. An der BHS zählt eine Rechnung aber nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz: Schreib die Gleichung auf und nenne die verwendete Funktion mit ihren Eingaben. Auch in der AHS-Klausur hilft dir die aufgeschriebene Gleichung, einen Tippfehler zu finden.

Was ist eine Doppellösung?

Ist der Ausdruck unter der Wurzel null, fallen die beiden Lösungen zusammen: $x_1 = x_2$. Die Parabel berührt die $x$-Achse dann in einem Punkt, ohne sie zu schneiden. Die Zerlegung in Linearfaktoren ist dann ein Quadrat, zum Beispiel $x^2 - 6 \cdot x + 9 = (x - 3)^2$.

Was mache ich, wenn eine Lösung im Sachzusammenhang nicht passt?

Verwirf sie und begründe es: Eine Länge, ein Preis, eine Stückzahl oder eine Zeit kann nicht negativ sein. Bei einer Anzahl muss die Lösung außerdem eine ganze Zahl sein. Schreib das Ergebnis als Antwortsatz mit Einheit an und nenne, welche Lösung du ausgeschlossen hast.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Quadratische Gleichungen: große und kleine Lösungsformel, Lösungsfälle

Eine quadratische Gleichung hat die Unbekannte im Quadrat und höchstens zwei reelle Lösungen. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du eine Gleichung auf die Form mit Null bringst, mit der großen oder der kleinen Lösungsformel löst, am Ausdruck unter der Wurzel erkennst, wie viele reelle Lösungen es gibt, und Lösungen im Sachzusammenhang deutest.

Mathe-Matura (AHS): in 2 der 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HTL 2: in einer der 8.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- AG 2.3quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
Gefragt in 2 der 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Haupttermin 2026: Aufgabe 26a3; Haupttermin 2022: Aufgabe 2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 2.9Probleme aus Anwendungsgebieten durch quadratische Gleichungen mit einer Variablen modellieren, reelle Lösungen quadratischer Gleichungen ermitteln und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und damit argumentieren
Gefragt in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Wintertermin 2026: Aufgabe 1b1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T2_2.3quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren
Gefragt in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Die Normalform ist $x^2 + p \cdot x + q = 0$ , die allgemeine Form $a \cdot x^2 +{}$ $b \cdot x +{}$ $c ={}$ $0$ mit $a \neq 0$ . Beide haben rechts null: Bring zuerst alle Terme auf eine Seite.
Die kleine Lösungsformel für die Normalform: $x_{1{,}2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ . Die große Lösungsformel für die allgemeine Form: $x_{1{,}2} ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$ . Beide stehen im Kapitel 5 der Formelsammlung (Seite 4).
Die große Lösungsformel wird auch Mitternachtsformel genannt, die kleine auch p-q-Formel.
Der Ausdruck unter der Wurzel, $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ bzw. $b^2 - 4 \cdot a \cdot c$ , entscheidet über die Lösungsfälle: Ist er positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist er null, genau eine (eine Doppellösung), ist er negativ, keine reelle Lösung.
Geometrisch sind die reellen Lösungen die Nullstellen der Parabel $y ={}$ $a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ : zwei Schnittpunkte, ein Berührpunkt oder kein Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.
Der Satz von Vieta verbindet die Lösungen mit den Koeffizienten der Normalform: $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$ . Daraus folgt die Zerlegung in Linearfaktoren: Der Term $x^2 + p \cdot x + q$ ist gleich $(x - x_1) \cdot (x - x_2)$ .
Fehlt ein Glied, geht es schneller: $x^2 = c$ löst du durch Wurzelziehen ( $x = \pm \sqrt{c}$ für $c \geq 0$ ), $x^2 + p \cdot x = 0$ durch Herausheben: $x \cdot (x + p) = 0$ .

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Auf null bringen
Forme so um, dass auf einer Seite null steht, und ordne nach Potenzen von $x$ . Dividiere durch $a$ , wenn du die kleine Lösungsformel verwenden willst.
2.Koeffizienten ablesen
Lies $p$ und $q$ bzw. $a$ , $b$ und $c$ mit ihren Vorzeichen ab. Fehlt ein Glied, ist der Koeffizient null.
3.Den Lösungsfall bestimmen
Berechne den Ausdruck unter der Wurzel. Sein Vorzeichen sagt dir, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
4.Lösungsformel anwenden
Setze ein und rechne beide Vorzeichen von $\pm$ aus. Mach eine Probe, indem du eine Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.
5.Im Kontext prüfen
Eine Länge oder eine Anzahl kann nicht negativ sein. Entscheide, welche Lösung zur Frage passt, und gib sie mit Einheit an.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Die große Lösungsformel
Löse die Gleichung $2 \cdot x^2 +{}$ $3 \cdot x -{}$ $5 ={}$ $0$ .
2.Die kleine Lösungsformel
Löse die Gleichung $x^2 + 8 \cdot x + 5 = 0$ und runde auf zwei Nachkommastellen.
3.Lösungsfälle mit einem Parameter
Für welche Werte von $k \in \mathbb{R}$ hat die Gleichung $x^2 + 4 \cdot x + k = 0$ keine reelle Lösung?
4.Ein Rechteck im Sachzusammenhang
Ein Foto ist 14 cm breit und 9 cm hoch. Es bekommt einen Rahmen, der rundherum gleich breit ist. Foto und Rahmen bedecken zusammen 234 cm². Berechne die Breite des Rahmens.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Haupttermin 2021/22 (3. Mai 2022)

Aufgabe 2

Quadratische Gleichung Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Variablen

x

3 \cdot x^2 + a ={}

2 \cdot x^2 +{}

6 \cdot x -{}

4 \quad \text{mit} \quad a \in \mathbb{R}

Ermitteln Sie alle Werte von

a

, für die die gegebene Gleichung zwei verschiedene Lösungen in

\mathbb{R}

hat.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Haupttermin 2021/22 (3. Mai 2022), Aufgabe 2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, steht unter Deskriptor 2.9, dass du Probleme aus Anwendungsgebieten durch quadratische Gleichungen mit einer Variablen modellierst, reelle Lösungen ermittelst und die verschiedenen Lösungsfälle interpretierst. Schreib die Gleichung als Rechenansatz auf, bevor du sie löst. Löst du sie mit deiner Technologie, dokumentierst du die verwendete Funktion und ihre Eingaben. Danach entscheidest du, welche Lösung im Sachzusammenhang sinnvoll ist.

Angewandte Mathematik (HTL 2)

In Teil B der HTL 2 steht unter B_T2_2.3, dass du quadratische Gleichungen in einer Variablen löst und die möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretierst. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, hat die Gleichung zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen. Bei

x^2 + 2 \cdot x + 5 = 0

ist er

1 - 5 = -4

, also

x_{1{,}2} ={}

-1 \pm 2 \cdot \mathrm{i}

mit der imaginären Einheit

\mathrm{i}

(

\mathrm{i}^2 = -1

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

AHS

Aufgabe 1.

Gegeben ist die Gleichung

x^2 + 10 \cdot x + c ={}

0

mit

c \in \mathbb{R}

. Für welchen Wert von

c

hat die Gleichung genau eine reelle Lösung?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 2.

Gegeben ist die Gleichung

x^2 - 3 \cdot x - 10 ={}

0

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 3.

Ein rechteckiger Garten hat einen Umfang von 46 m und einen Flächeninhalt von 120 m². Wie viele Meter ist seine längere Seite lang?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 4.

Die Gleichung

x^2 + 6 \cdot x + 25 ={}

0

hat zwei komplexe Lösungen. Gib den Imaginärteil derjenigen Lösung an, deren Imaginärteil positiv ist.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Mehr Aufgaben: schreib kostenlos eine ganze Klausur

Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Nicht auf null bringen. Die Lösungsformeln gelten nur für Gleichungen, die rechts null haben. Bei $x^2 + 3 \cdot x = 4$ ist $q = -4$ , nicht $q = 4$ .
Vorzeichen verlieren. In der kleinen Lösungsformel steht $-\frac{p}{2}$ , in der großen $-b$ ; bei negativem $p$ oder $b$ wird der Wert positiv.
Das $\pm$ vergessen. Wer nur die Wurzel addiert, findet nur eine der beiden Lösungen. Rechne beide Vorzeichen aus.
Durch $x$ kürzen. Aus $x^2 = 3 \cdot x$ wird beim Kürzen nur $x = 3$ ; die Lösung $x = 0$ geht verloren. Bring stattdessen alles auf eine Seite und hebe heraus: $x \cdot (x - 3) = 0$ .
Eine sinnlose Lösung stehen lassen. Wird eine Länge, ein Preis oder eine Zeit gesucht, scheidet eine negative Lösung aus; schreib das als Satz an.

Merk dir

Normalform: $x^2 + p \cdot x + q = 0$ mit $x_{1{,}2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$ .
Allgemeine Form: $x_{1{,}2} ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$ .
Ausdruck unter der Wurzel positiv: zwei reelle Lösungen; null: eine; negativ: keine.
Vieta: $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$ .
Zuerst auf null bringen, am Ende im Kontext prüfen.

Häufige Fragen

1.Wann nehme ich die große und wann die kleine Lösungsformel?+
Antwort:Steht vor $x^2$ eine 1, also in der Normalform, ist die kleine Lösungsformel kürzer. Hat die Gleichung einen anderen Koeffizienten $a$ , verwendest du entweder die große Formel oder du dividierst die ganze Gleichung durch $a$ und nimmst dann die kleine. Beide führen zu denselben Lösungen.
2.Woran erkennst du, wie viele reelle Lösungen es gibt?+
Antwort:Am Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel. Ist er positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist er null, gibt es genau eine, und ist er negativ, gibt es keine reelle Lösung, weil du aus einer negativen Zahl in $\mathbb{R}$ keine Wurzel ziehen kannst. Bei Aufgaben mit Parameter stellst du aus dieser Bedingung eine Ungleichung auf.
3.Muss ich die Lösungsformeln auswendig können?+
Antwort:Beide Formeln, den Satz von Vieta und die Zerlegung in Linearfaktoren findest du im Kapitel 5 der Formelsammlung auf Seite 4. Nicht dort steht, was die Lösungsfälle bedeuten und wie du eine Gleichung auf null bringst. Das musst du selbst können, ebenso das Deuten der Lösungen im Kontext.
4.Darf ich eine quadratische Gleichung mit der Technologie lösen?+
Antwort:Ja, die Technologie ist in der ganzen Klausur erlaubt. An der BHS zählt eine Rechnung aber nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz: Schreib die Gleichung auf und nenne die verwendete Funktion mit ihren Eingaben. Auch in der AHS-Klausur hilft dir die aufgeschriebene Gleichung, einen Tippfehler zu finden.
5.Was ist eine Doppellösung?+
Antwort:Ist der Ausdruck unter der Wurzel null, fallen die beiden Lösungen zusammen: $x_1 = x_2$ . Die Parabel berührt die $x$ -Achse dann in einem Punkt, ohne sie zu schneiden. Die Zerlegung in Linearfaktoren ist dann ein Quadrat, zum Beispiel $x^2 - 6 \cdot x + 9 ={}$ $(x - 3)^2$ .
6.Was mache ich, wenn eine Lösung im Sachzusammenhang nicht passt?+
Antwort:Verwirf sie und begründe es: Eine Länge, ein Preis, eine Stückzahl oder eine Zeit kann nicht negativ sein. Bei einer Anzahl muss die Lösung außerdem eine ganze Zahl sein. Schreib das Ergebnis als Antwortsatz mit Einheit an und nenne, welche Lösung du ausgeschlossen hast.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Quadratische Gleichungen: große und kleine Lösungsformel, Lösungsfälle

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Auf null bringen

2.Koeffizienten ablesen

3.Den Lösungsfall bestimmen

4.Lösungsformel anwenden

5.Im Kontext prüfen

Beispiele

1.Die große Lösungsformel

2.Die kleine Lösungsformel

3.Lösungsfälle mit einem Parameter

4.Ein Rechteck im Sachzusammenhang

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HTL 2)

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Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen