Kleksa

Matura 2027 · matematyka · wybrane wzory CKE

Tablice matematyczne na maturę: wybrane wzory CKE dział po dziale

Na maturze z matematyki dostajesz broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”, nazywaną tablicami matematycznymi albo kartą wzorów. Ten przewodnik prowadzi przez jej 17 działów: co jest na której stronie, czego z tego wymaga matura podstawowa, co należy do zakresu rozszerzonego i czego w tablicach nie znajdziesz, więc musisz to znać na pamięć.

Broszura CKE (PDF, 34 strony)

Broszura w skrócie

Wydawca
Centralna Komisja Egzaminacyjna
Objętość
34 strony, 17 działów
Na maturze
obowiązkowa, zapewnia ją szkoła
Poziom
jedna dla podstawowego i rozszerzonego

Co to za broszura

„Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki” to broszura Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Ma 34 strony: spis treści jest na stronie 3, a 17 działów zajmuje strony od 4 do 34, od wartości bezwzględnej liczby do tablicy wartości funkcji trygonometrycznych. Według komunikatu CKE na maturze z matematyki broszura jest obowiązkowa i zapewnia ją szkoła.
Broszura jest jedna dla poziomu podstawowego i rozszerzonego, więc są w niej też wzory, których matura podstawowa nie wymaga. Przy każdym dziale piszemy, na których stronach go szukać, co z niego przyda się na poziomie podstawowym, a co należy do zakresu rozszerzonego. Wymagania podajemy według podstawy programowej z 2024 roku (Dz.U. 2024 poz. 1019), na której opiera się matura od 2025 roku.

Dział po dziale

17 działów
Numery i nazwy działów oraz strony są takie jak w broszurze CKE. Wzory, które tu przytaczamy, porównaliśmy z broszurą jeden po drugim.

1. Wartość bezwzględna liczby

strona 4

Definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, jej interpretacja jako odległości od zera na osi liczbowej i podstawowe własności.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • ∣x∣={xdla x≥0−xdla x<0|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}
  • ∣x∣≥0|x| \geq 0, ∣−x∣=∣x∣|{-x}| = |x|
  • ∣x⋅y∣=|x \cdot y| ={}∣x∣⋅∣y∣ |x| \cdot |y|, ∣xy∣=∣x∣∣y∣\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} dla y≠0y \neq 0
  • ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x + y| \leq |x| + |y|

Na maturze podstawowej

Na poziomie podstawowym (P I.7) korzystasz z interpretacji geometrycznej i algebraicznej wartości bezwzględnej i rozwiązujesz równania takie jak ∣x+4∣=5|x + 4| = 5. To równanie mówi, że liczba xx leży na osi w odległości 55 od liczby −4-4, więc x=1x = 1 albo x=−9x = -9.

Poza poziomem podstawowym

Równoważności ∣x−a∣≤r  ⟺  a−|x - a| \leq r \iff a -{}r≤x≤a+ r \leq x \leq a +{}r r oraz ∣x−a∣≥r  ⟺  x≤a−|x - a| \geq r \iff x \leq a -{}r r lub x≥a+rx \geq a + r służą do rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, a te należą do zakresu rozszerzonego (R III.4).

2. Potęgi i pierwiastki

strony 4–5

Definicje potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym, definicja pierwiastka arytmetycznego, także pierwiastka stopnia nieparzystego z liczby ujemnej, prawa działań na potęgach i monotoniczność potęgowania.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
  • a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} i a0=1a^0 = 1 dla a≠0a \neq 0
  • amn=a^{\frac{m}{n}} ={}amn \sqrt[n]{a^m} dla a≥0a \geq 0
  • a−mn=a^{-\frac{m}{n}} ={}1amn \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} dla a>0a > 0
  • ar⋅as=a^r \cdot a^s ={}ar+s a^{r+s}, (ar)s=(a^r)^s ={}ar⋅s a^{r \cdot s}, aras=\frac{a^r}{a^s} ={}ar−s a^{r-s}
  • (a⋅b)r=(a \cdot b)^r ={}ar⋅br a^r \cdot b^r, (ab)r=arbr\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}
  • ax<ay  ⟺  x>ya^x < a^y \iff x > y dla a∈(0,1)a \in (0, 1), ax<ay  ⟺  x<ya^x < a^y \iff x < y dla a∈(1,+∞)a \in (1, +\infty)

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P I.3–5) upraszczasz wyrażenia z potęgami i pierwiastkami, zamieniasz pierwiastek na potęgę o wykładniku wymiernym i porównujesz potęgi o tej samej podstawie. Pamiętaj o założeniach ze strony 5: prawa działań dla dowolnych wykładników rzeczywistych broszura podaje przy a>0a > 0 i b>0b > 0, a dla wykładników całkowitych przy a≠0a \neq 0 i b≠0b \neq 0.

3. Logarytmy

strony 5–6

Definicja logarytmu, wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz umowa, że zapisy log⁡x\log x i lg⁡x\lg x oznaczają log⁡10x\log_{10} x.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • log⁡ab=\log_a b ={}c  ⟺  ac= c \iff a^c ={}b b dla a>0a > 0, a≠1a \neq 1, b>0b > 0
  • alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b
  • log⁡a(x⋅y)=\log_a (x \cdot y) ={}log⁡ax+log⁡ay \log_a x + \log_a y
  • log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y
  • log⁡axr=\log_a x^r ={}r⋅log⁡ax r \cdot \log_a x

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P I.9) stosujesz definicję logarytmu i wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. Liczby są dobrane tak, żeby wynik wyszedł dokładnie: log⁡248−log⁡23=\log_2 48 - \log_2 3 ={}log⁡216= \log_2 16 ={}4 4.

Poza poziomem podstawowym

Wzór na zamianę podstawy logarytmu log⁡bc=\log_b c ={}log⁡aclog⁡ab \frac{\log_a c}{\log_a b} i jego szczególny przypadek log⁡ab=\log_a b ={}1log⁡ba \frac{1}{\log_b a} ze strony 6 należą do zakresu rozszerzonego.

4. Silnia. Współczynnik dwumianowy

strona 6

Cały ten dział należy do zakresu rozszerzonego (R II.4, R XI.2): silnia n!=n! ={}1⋅2⋅…⋅n 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n z umową 0!=10! = 1 oraz symbol Newtona (nk)=\binom{n}{k} ={}n!k!(n−k)! \frac{n!}{k!(n-k)!} z jego własnościami.

Ten dział należy w całości do zakresu rozszerzonego: na maturze podstawowej z niego nie korzystasz.

Na maturze podstawowej

Silni i symbolu Newtona nie ma w wymaganiach poziomu podstawowego. Na maturze podstawowej zliczasz obiekty regułą mnożenia i regułą dodawania (P XI.2).

5. Wzór dwumianowy Newtona

strona 7

Wzór dwumianowy Newtona, czyli rozwinięcie (a+b)n(a + b)^n i (a−b)n(a - b)^n za pomocą symboli Newtona, należy do zakresu rozszerzonego (R II.5).

Ten dział należy w całości do zakresu rozszerzonego: na maturze podstawowej z niego nie korzystasz.

Na maturze podstawowej

Na poziomie podstawowym z tego działu nie korzystasz. Kwadrat sumy i kwadrat różnicy znajdziesz w następnym dziale, na tej samej stronie 7.

6. Wzory skróconego mnożenia

strona 7

Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy i kwadrat różnicy, różnica kwadratów, a obok nich wzory wyższych stopni, o których piszemy niżej.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • (a+b)2=(a + b)^2 ={}a2+2ab+b2 a^2 + 2ab + b^2
  • (a−b)2=(a - b)^2 ={}a2−2ab+b2 a^2 - 2ab + b^2
  • a2−b2=a^2 - b^2 ={}(a−b)(a+b) (a - b)(a + b), w szczególności a2−1=a^2 - 1 ={}(a−1)(a+1) (a - 1)(a + 1)

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P II.1) obowiązują trzy wzory: na (a+b)2(a + b)^2, na (a−b)2(a - b)^2 i na a2−b2a^2 - b^2. Służą do upraszczania wyrażeń i do usuwania niewymierności z mianownika: 13−1=\frac{1}{\sqrt{3} - 1} ={}3+1(3−1)(3+1)= \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} ={}3+12 \frac{\sqrt{3} + 1}{2}.

Poza poziomem podstawowym

Sześcian sumy i sześcian różnicy, suma i różnica sześcianów oraz wzory na an−bna^n - b^n i an−1a^n - 1 należą do zakresu rozszerzonego (R II.5).

7. Funkcja kwadratowa

strony 7–9

Wyróżnik trójmianu kwadratowego, postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej, współrzędne wierzchołka paraboli, kierunek jej ramion i liczba miejsc zerowych w zależności od znaku Δ\Delta.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, a≠0a \neq 0
  • Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
  • W=(p,q)W = (p, q), gdzie p=−b2ap = -\frac{b}{2a}, q=q ={}−Δ4a -\frac{\Delta}{4a}
  • f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x - p)^2 + q
  • x1=x_1 ={}−b−Δ2a \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, x2=x_2 ={}−b+Δ2a \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} dla Δ>0\Delta > 0
  • x1=x_1 ={}x2= x_2 ={}−b2a -\frac{b}{2a} dla Δ=0\Delta = 0
  • f(x)=f(x) ={}a(x−x1)(x−x2) a(x - x_1)(x - x_2) dla Δ≥0\Delta \geq 0

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P III.4, P V.7–10) rozwiązujesz równania i nierówności kwadratowe, odczytujesz ze wzoru wierzchołek paraboli i miejsca zerowe, wyznaczasz wzór funkcji na podstawie jej wykresu i szukasz największej oraz najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym. Wzory z tego działu zajmują strony 7, 8 i 9.

Poza poziomem podstawowym

Wzory Viète’a x1+x2=x_1 + x_2 ={}−ba -\frac{b}{a} i x1⋅x2=x_1 \cdot x_2 ={}ca \frac{c}{a} ze strony 9 należą do zakresu rozszerzonego (R III.3).

8. Ciągi

strony 9–11

Wzory na nn-ty wyraz i na sumę nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego, związek trzech sąsiednich wyrazów każdego z nich i wzór na procent składany. Strony 10 i 11 zawierają też materiał z zakresu rozszerzonego, opisany niżej.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r
  • Sn=S_n ={}a1+an2⋅n \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n, Sn=S_n ={}2a1+(n−1)r2⋅n \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n
  • an=a_n ={}an−1+an+12 \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} dla n≥2n \geq 2
  • an=a_n ={}a1⋅qn−1 a_1 \cdot q^{n-1}
  • Sn=S_n ={}a1⋅1−qn1−q a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} dla q≠1q \neq 1, Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1 dla q=1q = 1
  • (an)2=(a_n)^2 ={}an−1⋅an+1 a_{n-1} \cdot a_{n+1} dla n≥2n \geq 2
  • Kn=K0⋅(1+p100)nK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P VI.1–7) liczysz wyrazy ciągu ze wzoru ogólnego, sprawdzasz, czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny, i stosujesz wzory na nn-ty wyraz i na sumę. Wzór na procent składany ze strony 10 przydaje się w zadaniach o lokatach (P I.8): K0K_0 to kapitał początkowy, pp oprocentowanie roczne w procentach, nn liczba lat.

Poza poziomem podstawowym

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego S=a11−qS = \frac{a_1}{1 - q} dla ∣q∣<1|q| < 1, twierdzenia o granicach ciągów zbieżnych i wybrane granice ze stron 10 i 11 należą do zakresu rozszerzonego (R VI.1–2).

9. Trygonometria

strony 11–14

Definicje sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i dowolnego kąta w układzie współrzędnych, jedynka trygonometryczna, wzór na tangens i wartości dla kątów 0∘0^\circ, 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ i 90∘90^\circ. Dalsze strony działu to w większości materiał z zakresu rozszerzonego.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} (w trójkącie prostokątnym: aa naprzeciw kąta α\alpha, bb przy nim, cc przeciwprostokątna)
  • sin⁡α=yr\sin\alpha = \frac{y}{r}, cos⁡α=xr\cos\alpha = \frac{x}{r}, tg⁡α=yx\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} dla x≠0x \neq 0, gdzie r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  • sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
  • sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1
  • sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}
  • sin⁡(180∘−α)=\sin(180^\circ - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=\cos(180^\circ - \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P VII.1–4, P VIII.12) liczysz wartości funkcji trygonometrycznych kątów od 0∘0^\circ do 180∘180^\circ, korzystasz z jedynki trygonometrycznej i ze wzoru na tangens, rozwiązujesz trójkąty prostokątne i wyznaczasz długości odcinków w figurach. Zależności dla kąta 180∘−α180^\circ - \alpha ze strony 14 wynikają z definicji dla kątów od 0∘0^\circ do 180∘180^\circ, więc przydają się przy kącie rozwartym.

Poza poziomem podstawowym

Wykresy funkcji trygonometrycznych ze strony 12, miara łukowa kąta, wzory na funkcje sumy i różnicy kątów i kąta podwojonego ze strony 13 oraz pozostałe wzory redukcyjne i okresowość ze strony 14 należą do zakresu rozszerzonego (R VII.1–5). Wzorów na sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych ze strony 14 nie ma w wymaganiach poziomu podstawowego.

10. Planimetria

strony 15–22

Najdłuższy dział broszury: oznaczenia w trójkącie, twierdzenie Pitagorasa z twierdzeniem do niego odwrotnym, twierdzenie cosinusów, wzory na pole trójkąta, związki miarowe w trójkącie prostokątnym i równobocznym, cechy przystawania i podobieństwa trójkątów, twierdzenie Talesa, koło i wycinek koła, kąty w okręgu, twierdzenia o stycznych, pola czworokątów i pola figur podobnych.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, gdy kąt γ\gamma jest prosty, i na odwrót
  • a2=a^2 ={}b2+ b^2 +{}c2− c^2 -{}2bc⋅cos⁡α 2bc \cdot \cos\alpha
  • PΔABC=P_{\Delta ABC} ={}12a⋅ha \frac{1}{2} a \cdot h_a, PΔABC=P_{\Delta ABC} ={}12ab⋅sin⁡γ \frac{1}{2} ab \cdot \sin\gamma
  • hc=h_c ={}∣AD∣⋅∣DB∣ \sqrt{|AD| \cdot |DB|}, hc=abch_c = \frac{ab}{c}, r=a+b−c2r = \frac{a + b - c}{2}, R=12cR = \frac{1}{2}c (trójkąt prostokątny, kąt prosty przy CC)
  • h=a32h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, PΔ=P_{\Delta} ={}a234 \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, r=13hr = \frac{1}{3}h, R=23hR = \frac{2}{3}h (trójkąt równoboczny)
  • ∣AB∣∣PA∣=\frac{|AB|}{|PA|} ={}∣CD∣∣PC∣ \frac{|CD|}{|PC|}, gdy proste ACAC i BDBD są równoległe (twierdzenie Talesa)
  • P=πr2P = \pi r^2, L=2πrL = 2\pi r
  • P=P ={}α360∘⋅πr2 \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2, L=L ={}α360∘⋅2πr \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r (wycinek koła i łuk)
  • ∣PA∣=∣PB∣|PA| = |PB| (odcinki stycznych)
  • trapez P=P ={}a+b2⋅h \frac{a + b}{2} \cdot h, równoległobok P=ahP = ah i P=P ={}a⋅b⋅sin⁡α a \cdot b \cdot \sin\alpha
  • romb P=ahP = ah, P=P ={}a2⋅sin⁡α a^2 \cdot \sin\alpha i P=P ={}12⋅∣AC∣⋅∣BD∣ \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD|, deltoid P=P ={}12⋅∣AC∣⋅∣BD∣ \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD|
  • PBPA=\frac{P_{\mathcal{B}}}{P_{\mathcal{A}}} ={}k2 k^2 (pola figur podobnych w skali kk)

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P VII.3, P VIII.1–12) potrzebujesz większości tego działu: twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotnego, twierdzenia cosinusów, wzorów na pola trójkątów i czworokątów, cech podobieństwa, twierdzenia Talesa, kątów wpisanych i środkowych oraz wycinka koła. Wzór Herona PΔABC=P_{\Delta ABC} ={}p(p−a)(p−b)(p−c) \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} i wzór PΔABC=P_{\Delta ABC} ={}p⋅r p \cdot r, gdzie pp to połowa obwodu, też są na stronie 16 i możesz z nich korzystać, choć podstawa nie wymienia ich osobno.

Poza poziomem podstawowym

Twierdzenie sinusów asin⁡α=\frac{a}{\sin\alpha} ={}2R 2R ze strony 15 i trzy wzory na pole trójkąta ze strony 16, które z niego wynikają, w tym PΔABC=P_{\Delta ABC} ={}abc4R \frac{abc}{4R} i PΔABC=P_{\Delta ABC} ={}2R2⋅sin⁡α⋅sin⁡β⋅sin⁡γ 2R^2 \cdot \sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \sin\gamma, należą do zakresu rozszerzonego (R VII.7). Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa ze strony 18 oraz warunki, przy których na czworokącie można opisać okrąg (strona 21) i w czworokąt wpisać okrąg (strona 22), to także zakres rozszerzony (R VIII.1–2). Twierdzenia o dwusiecznej kąta ze strony 18, twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą ze strony 19 ani twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej ze strony 20 nie ma w wymaganiach poziomu podstawowego.

11. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

strony 22–26

Geometria analityczna na płaszczyźnie: długość i środek odcinka, równanie kierunkowe i ogólne prostej, równanie prostej przez dwa punkty, warunki równoległości prostych, równanie okręgu, symetrie, pole trójkąta o danych wierzchołkach i środek ciężkości trójkąta. Dział zaczyna się na stronie 22, a jego ostatni wzór jest na stronie 26.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • ∣AB∣=|AB| ={}(xB−xA)2+(yB−yA)2 \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
  • xS=x_S ={}xA+xB2 \frac{x_A + x_B}{2}, yS=y_S ={}yA+yB2 \frac{y_A + y_B}{2}
  • y=ax+by = ax + b, gdzie a=a ={}tg⁡α \operatorname{tg}\alpha to współczynnik kierunkowy
  • y=a(x−x0)+y0y = a(x - x_0) + y_0 (prosta o współczynniku aa przez punkt (x0,y0)(x_0, y_0))
  • y−yA=a(x−xA)y - y_A = a(x - x_A), gdzie a=a ={}yB−yAxB−xA \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} dla xB≠xAx_B \neq x_A
  • Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, gdzie A2+B2≠0A^2 + B^2 \neq 0
  • a1=a2a_1 = a_2 (proste równoległe), A1⋅B2−A_1 \cdot B_2 -{}A2⋅B1= A_2 \cdot B_1 ={}0 0 (to samo dla równań ogólnych)
  • (x−a)2+(y−b)2=(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}r2 r^2 (okrąg o środku (a,b)(a, b) i promieniu rr)
  • (x,y)↦(x,−y)(x, y) \mapsto (x, -y), (x,y)↦(−x,y)(x, y) \mapsto (-x, y), (x,y)↦(−x,−y)(x, y) \mapsto (-x, -y) (symetria względem osi OxOx, osi OyOy i początku układu)

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P IX.1–5) liczysz długość i środek odcinka, wyznaczasz równanie prostej przez dwa punkty albo równoległej do danej, znajdujesz punkt wspólny dwóch prostych, odczytujesz środek i promień okręgu z równania w postaci kanonicznej i wyznaczasz obrazy figur w symetriach względem osi układu i względem początku układu. Postać ogólną równania okręgu broszura też podaje na stronie 24, ale wymaganie P IX.4 dotyczy postaci kanonicznej.

Poza poziomem podstawowym

Warunki a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1 i A1⋅A2+A_1 \cdot A_2 +{}B1⋅B2= B_1 \cdot B_2 ={}0 0 ze strony 24 są wydrukowane, ale wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej należy do zakresu rozszerzonego (R IX.4). Wektory i przesunięcie o wektor ze strony 25 to także zakres rozszerzony (R IX.3). Wzoru na odległość punktu od prostej ze strony 24 nie ma w wymaganiach poziomu podstawowego.

12. Stereometria

strony 26–28

Wzory na pole powierzchni całkowitej PcP_c, pole powierzchni bocznej PbP_b i objętość VV prostopadłościanu, graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka i kuli; PpP_p oznacza pole podstawy.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • Pc=2(ab+bc+ca)P_c = 2(ab + bc + ca), V=abcV = abc (prostopadłościan o krawędziach aa, bb, cc)
  • Pb=Ob⋅hP_b = O_b \cdot h, V=Pp⋅hV = P_p \cdot h (graniastosłup prosty, ObO_b to obwód podstawy)
  • V=V ={}13⋅Pp⋅h \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h (ostrosłup)
  • Pb=2πrhP_b = 2\pi rh, Pc=2πr(r+h)P_c = 2\pi r(r + h), V=πr2hV = \pi r^2 h (walec)
  • Pb=πrlP_b = \pi rl, Pc=πr(r+l)P_c = \pi r(r + l), V=V ={}13πr2h \frac{1}{3}\pi r^2 h (stożek o tworzącej ll)
  • Pc=4πr2P_c = 4\pi r^2, V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 (kula)

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P X.1–6) liczysz objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, także z trygonometrią, oraz kąty między krawędziami, ścianami i podstawą bryły.

Poza poziomem podstawowym

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych ze strony 26 należy do zakresu rozszerzonego (R X.1).

13. Kombinatoryka

strona 28

Wzory na liczbę permutacji, kombinacji oraz wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń, które należą do zakresu rozszerzonego (R XI.1).

Ten dział należy w całości do zakresu rozszerzonego: na maturze podstawowej z niego nie korzystasz.

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P XI.1–2) zliczasz obiekty regułą mnożenia i regułą dodawania, a tych reguł w broszurze nie ma. Ciągów trzycyfrowych z cyfr od 11 do 55, w których cyfry mogą się powtarzać, jest 5⋅5⋅5=5 \cdot 5 \cdot 5 ={}125 125, bo każdą z trzech cyfr wybierasz na 55 sposobów.

14. Rachunek prawdopodobieństwa

strony 29–30

Własności prawdopodobieństwa i klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Reszta działu wykracza poza poziom podstawowy, jak piszemy niżej.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1, P(∅)=P(\varnothing) ={}0 0, P(Ω)=1P(\Omega) = 1
  • P(A′)=1−P(A)P(A') = 1 - P(A) (zdarzenie przeciwne)
  • P(A∪B)=P(A \cup B) ={}P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • P(A)=P(A) ={}∣A∣∣Ω∣ \frac{|A|}{|\Omega|} (klasyczna definicja)

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P XII.1) liczysz prawdopodobieństwo w modelu klasycznym ze wzoru P(A)=P(A) ={}∣A∣∣Ω∣ \frac{|A|}{|\Omega|}, a zdarzenia elementarne zliczasz regułą mnożenia. Przy dwóch rzutach kostką ∣Ω∣=|\Omega| ={}6⋅6= 6 \cdot 6 ={}36 36.

Poza poziomem podstawowym

Schemat Bernoullego ze strony 29 oraz prawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i twierdzenie Bayesa ze strony 30 należą do zakresu rozszerzonego (R XII.1–2). Wartości oczekiwanej zmiennej losowej ze strony 30 nie ma w wymaganiach podstawy programowej z 2024 roku na żadnym poziomie.

15. Parametry danych statystycznych

strony 31–32

Średnia arytmetyczna, średnia ważona i mediana, a obok nich parametry, których matura podstawowa nie wymaga, opisane niżej.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • aˉ=\bar{a} ={}a1+a2+…+ann \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}
  • sˉ=\bar{s} ={}w1⋅a1+w2⋅a2+…+wn⋅anw1+w2+…+wn \frac{w_1 \cdot a_1 + w_2 \cdot a_2 + \ldots + w_n \cdot a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n} (wagi w1,…,wnw_1, \ldots, w_n dodatnie)
  • mediana an+12a_{\frac{n+1}{2}} dla nn nieparzystych i 12(an2+an2+1)\frac{1}{2}\left(a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1}\right) dla nn parzystych, w danych uporządkowanych niemalejąco

Na maturze podstawowej

Na maturze podstawowej (P XII.2) liczysz średnią arytmetyczną i ważoną, znajdujesz medianę i dominantę. Dominanty, czyli wartości występującej najczęściej, w broszurze nie ma.

Poza poziomem podstawowym

Średniej geometrycznej, średniej kwadratowej, nierówności między średnimi, wariancji i odchylenia standardowego ze stron 31 i 32 nie ma w wymaganiach podstawy programowej z 2024 roku na żadnym poziomie.

16. Pochodna funkcji

strony 32–33

Pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej, pochodne wybranych funkcji i równanie stycznej do wykresu funkcji: cały dział należy do zakresu rozszerzonego (R XIII.3–6).

Ten dział należy w całości do zakresu rozszerzonego: na maturze podstawowej z niego nie korzystasz.

Na maturze podstawowej

Na poziomie podstawowym zadania optymalizacyjne rozwiązujesz za pomocą funkcji kwadratowej i wierzchołka paraboli (P XIII).

17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

strona 34

Tablica przybliżonych wartości sinusa, cosinusa i tangensa kątów od 0∘0^\circ do 90∘90^\circ co 1∘1^\circ, z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Dla kąta 90∘90^\circ tangensa w tablicy nie ma.

Wzory z tego działu na poziomie podstawowym

  • sin⁡35∘≈0,5736\sin 35^\circ \approx 0{,}5736, cos⁡35∘≈0,8192\cos 35^\circ \approx 0{,}8192, tg⁡35∘≈0,7002\operatorname{tg} 35^\circ \approx 0{,}7002

Na maturze podstawowej

Tablicę czytasz w obie strony: odczytujesz wartość funkcji dla danego kąta albo kąt, gdy znasz wartość funkcji (P VII.4). Jeśli tg⁡α≈1,4281\operatorname{tg}\alpha \approx 1{,}4281, to α≈55∘\alpha \approx 55^\circ. Kalkulator prosty nie liczy funkcji trygonometrycznych, dlatego na maturze ich przybliżone wartości odczytujesz z tej tablicy.

Czego nie ma w tablicach

to trzeba znać na pamięć
Tych faktów i wzorów broszura nie podaje, a matura podstawowa ich wymaga. Musisz je znać na pamięć albo umieć szybko wyprowadzić.

  • Kąty w trójkącie, w wielokącie i przy prostych równoległych

    Suma kątów wewnętrznych trójkąta to 180∘180^\circ, a nn-kąta wypukłego (n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ. Kąty przyległe dają razem 180∘180^\circ, kąty wierzchołkowe są równe, a przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą równe są kąty odpowiadające i naprzemianległe. W trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok (P VIII.2). Nic z tego nie ma w broszurze.

  • Prostokąt, kwadrat i ich przekątne

    Broszura podaje pola trapezu, równoległoboku, rombu i deltoidu, ale nie prostokąta i kwadratu. Pole prostokąta o bokach aa i bb to abab, pole kwadratu o boku aa to a2a^2, a jego przekątna ma długość a2a\sqrt{2}. Przekątna prostokąta wynika z twierdzenia Pitagorasa: d=a2+b2d = \sqrt{a^2 + b^2}.

  • Trójkąty o kątach 30∘30^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ i 45∘45^\circ, 45∘45^\circ, 90∘90^\circ

    Z trójkątów o szczególnych kątach broszura opisuje tylko trójkąt równoboczny. W trójkącie o kątach 30∘30^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30∘30^\circ jest połową przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest od niej 3\sqrt{3} razy dłuższa. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest 2\sqrt{2} razy dłuższa od przyprostokątnej. Możesz to też wyprowadzić z wartości funkcji trygonometrycznych ze strony 13.

  • Reguła mnożenia i reguła dodawania

    Na maturze podstawowej zliczasz obiekty tymi dwiema regułami (P XI.2), a broszura żadnej z nich nie podaje. Gdy wybór składa się z kilku kolejnych kroków, liczby możliwości mnożysz; gdy wybierasz jedną z kilku rozłącznych możliwości, dodajesz.

  • Obwody figur podobnych i objętości brył podobnych

    Na stronie 22 jest tylko to, że stosunek pól figur podobnych w skali kk jest równy k2k^2. Stosunek obwodów takich figur jest równy kk (P VIII.9), a stosunek objętości brył podobnych w skali kk jest równy k3k^3 (P X.6). Tych dwóch zależności w broszurze nie ma.

  • Własności funkcji liniowej

    Broszura podaje równanie kierunkowe prostej i to, że a=a ={}tg⁡α \operatorname{tg}\alpha, ale nie to, że funkcja f(x)=ax+bf(x) = ax + b jest rosnąca dla a>0a > 0, malejąca dla a<0a < 0 i stała dla a=0a = 0 (P V.5). Gdy a≠0a \neq 0, miejscem zerowym tej funkcji jest x=−bax = -\frac{b}{a}.

  • Przesuwanie wykresu funkcji

    Wykres funkcji y=f(x−a)y = f(x - a) powstaje z wykresu y=f(x)y = f(x) przez przesunięcie o aa jednostek wzdłuż osi OxOx, a wykres y=f(x)+by = f(x) + b przez przesunięcie o bb jednostek wzdłuż osi OyOy (P V.12). W broszurze tego nie ma.

Pytania i odpowiedzi

  1. 1.Czy na maturze dostaje się tablice matematyczne?+
    Odp.:Tak. Według komunikatu dyrektora CKE z 20 sierpnia 2026 roku o materiałach i przyborach pomocniczych na egzaminach w 2027 roku na maturze z matematyki broszura „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki” jest obowiązkowa i zapewnia ją szkoła, więc nie musisz przynosić własnej.
  2. 2.Czy tablice są takie same na poziomie podstawowym i rozszerzonym?+
    Odp.:Tak, to jedna broszura dla obu poziomów. Dlatego są w niej wzory, których matura podstawowa nie wymaga: całe działy 4, 5, 13 i 16 oraz części innych działów. Przy każdym dziale w tym przewodniku piszemy, co należy do zakresu rozszerzonego.
  3. 3.Jaki kalkulator można mieć na maturze z matematyki?+
    Odp.:Kalkulator prosty, który jest obowiązkowy, tak jak linijka i cyrkiel. Według komunikatu CKE to kalkulator, który umożliwia tylko dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, ewentualnie obliczanie procentów lub pierwiastków kwadratowych. Kalkulator naukowy komunikat dopuszcza tylko na maturze z fizyki i z chemii, więc wartości funkcji trygonometrycznych odczytasz z tablicy na stronie 34.
  4. 4.Czy na egzaminie ósmoklasisty są tablice matematyczne?+
    Odp.:Nie. Według tego samego komunikatu na egzaminie ósmoklasisty z matematyki masz długopis z czarnym tuszem i linijkę, nie dostajesz karty wzorów, a kalkulator prosty może mieć tylko uczeń z opinią poradni psychologiczno-pedagogicznej o dyskalkulii, jeśli takie dostosowanie przyznano mu na egzaminie. Wzory na egzamin ósmoklasisty trzeba więc znać na pamięć.
  5. 5.Gdzie pobrać tablice matematyczne CKE?+
    Odp.:Broszura jest na stronie CKE jako plik PDF: link do niej jest na początku tego przewodnika i w źródłach. Warto ćwiczyć z nią od początku przygotowań, żeby na maturze wiedzieć, na której stronie szukać wzoru.

Źródła

Zawartość działów i numery stron pochodzą z broszury CKE, wymagania z podstawy programowej, zasady korzystania z broszury i kalkulatora z komunikatu CKE. Opisy napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 26 października 2026.
Wszystkie tematy z matematyki na maturę podstawową

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury 2026 z matematyki, poziom podstawowy, w 180 minut, jak na maturze. Po oddaniu zobaczysz wynik i działy, w których tracisz punkty.